正方形中线段关系的探究.pptx

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1、海安县紫石中学储爱鸿正方形中线段关系的探究如图ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请证明你的猜想．(人教版八年级下册第68页第8题)引入解：BE=AF，BE⊥AF；理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，DE=CF，∴AE=DF，又∠BAE=∠D=90°，AB=AD，∴△BAE≌△ADF∴BE=AF，∠ABE=∠FAD，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠FAD+∠AEB=90°，∴BE⊥AF．故BE=AF，BE⊥AF．预习1．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点

2、,∠DAE=30º，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ=AE，则AP等于___cm．1．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30º，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ=AE，则AP等于_______cm．根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC=PN，在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，∴tan30°=，即DE=cm，根据勾股定理得：，∵M为AE的中点，∴在Rt△ADE和Rt△PNQ中，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ

3、（HL），∴DE=NQ，∠DAE=30°，∵PN∥DC，∴∠PFA=∠DEA=60°，∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，cos∠MAP=cos30°=∴AP=2cm；由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，综上，AP等于1cm或2cm．1或2预习2．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（　　）①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四边ECFG=2S△BGE．A．4B．3C．2D．1B2．如图，在

4、正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（　　）①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=；④S四边形ECFG=2S△BGE．A．4B．3C．2D．1解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF=BE，在△ABE和△BCF中，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF，故②正确；根据题意得，FP=FC

5、，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），在Rt△BPQ中，设QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴sin=∠BQP=故③正确；∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∴S△BGE：S△BcF=1：5，∴S四边形ECFG=4S△BGE，故④错误．B探究如图，四边形ABCD为正方形．在边AD上取一点E，连接BE，使∠AEB=60°．（1）利用尺规作图补全图形；（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）（2）取BE中点M，过点M的直线交边AB，CD于点P

6、，Q．①当PQ⊥BE时，求证：BP=2AP；②当PQ=BE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由．解：（1）如图1，分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E；探究如图，四边形ABCD为正方形．在边AD上取一点E，连接BE，使∠AEB=60°．（1）利用尺规作图补全图形；（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）（2）取BE中点M，过点M的直线交边AB，CD于点P，Q．①当PQ⊥BE时，求证：BP=2AP；②当PQ=BE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由．解：

7、（2）①连接PE，如图2，∵点M是BE的中点，PQ⊥BE∴PQ⊥BE．∴PB=PE，∴∠PEB=∠PBE=90̊﹣∠AEB=90̊﹣60̊=30̊，∴∠APE=∠PBE+∠PEB=60°，∴∠AEP=90̊,∠APE=90̊﹣60̊=30̊，∴BP=EP=2AP．探究如图，四边形ABCD为正方形．在边AD上取一点E，连接BE，使∠AEB=60°．（1）利用尺规作图补全图形；（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）（2）取BE中点M，过点M的直线交边AB，CD于点P，Q．①当PQ⊥BE时，求证：BP=2AP；②当PQ=BE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ