点和圆的位置关系.doc

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1、点和圆的位置关系一.教学内容：1.点和圆的位置关系．2.确定圆的条件．3.反证法．二.知识要点：1.点和圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内．设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP＝d，则点P与⊙O的位置关系是：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心为斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部．2.反证法（1）定义：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定

2、所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．（2）用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立．②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．三.重点难点：重点是点和圆的三种位置关系及这三种位置关系对应的圆的半径r与点到圆心的距离d之间的数量关系．难点是探索点与圆的三种位置关系，体会数学分类讨论思考问题的方法．【典型例题】例1.如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3cm，AC＝5cm，以点B为圆心，以BC为半径作⊙B，问：（1）点A与⊙B的位置关系；（2）点C与⊙B的位置关系；

3、（3）AB、AC的中点D、E与⊙B的位置关系． （2）点C在⊙B上；（3）点D在⊙B内，点E在⊙B内．评析：判断点和圆的位置关系，有时需求线段的长，这时往往用到直角三角形的有关性质，因此要注意新旧知识的综合应用．例2.求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．分析：本题是一道用文字叙述的几何证明题，在证题时，首先要把它转化成用几何符号叙述的几何题．解：已知：如图所示，矩形ABCD的对角线AC与BD交于O．求证：A、B、C、D四个点在以O点为圆心的同一个圆上． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD．∴OA＝O

4、B＝OC＝OD．∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心，以OA为半径的同一个圆上．评析：要证明几个点在同一个圆上，根据点与圆的位置关系，可证明这几个点到某一定点的距离相等．例3.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需跑到离爆破点120m以外的安全区域，如果导火索的长度是18cm，那么点火的人每秒跑6.5m是否安全？分析：这是个应用题，关键是根据点和圆的位置关系来解决物理中爆破危险区域问题，爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的圆外部分．因此，本题关键是求出人在导火索燃烧时间内跑出的路程是否大于120m．解：导火索燃烧

5、的时间为：18÷0.9＝20（s）．人跑的路程为：6.5×20＝130（m）．因为人跑的路程130m大于120m．所以点火的人每秒跑6.5m是安全的．例4.（1）你能画出⊙O的几个内接三角形？（2）任意给定一个△ABC，你能画出△ABC的外接圆吗？如果能，能画几个？分析：（1）能画无数个⊙O的内接三角形，只要在圆上任取三点，连接即可．（2）只能画一个，因为△ABC的外心是三边中垂线的交点，有且只有一个，半径OA也是固定的，圆心、半径都已确定下来了，所以⊙O是唯一的．解：（1）能画出无数个⊙O的内接三角形．（2）只能画一个△ABC的外接圆．评析：（1）

6、圆的内接三角形和三角形的外接圆是针对同一个图形从不同角度的两种说法．三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．（2）画圆的内接三角形，只要在圆上任取三点，连接即可．（3）画三角形的外接圆，首先要确定圆心，三角形外接圆的圆心是三角形两条边的垂直平分线（中垂线）的交点．由于三条边的垂直平分线交于一点，所以只要画两条边的垂直平分线即可．例5.用反证法证明：三角形中至少有一个角不大于60°．分析：假设命题的结论不成立，即每个角都大于60°，由三角形内角和定理得出矛盾． 证明：如图所示

7、，假设在△ABC中，每个角都大于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，∴∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180°．这与三角形内角和定理（∠A＋∠B＋∠C＝180°）相矛盾，所以假设不正确．即至少有一个角不大于60°．评析：反证法与我们以前学过的方法不同，是“以子之矛，刺子之盾”从而得出矛盾．由矛盾断定所做假设不正确，这种方法在某些情况下很有效．例6.如图1所示，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，则△ABC外接圆的面积是多少？分析：要求△ABC的外接圆的面积，只需求出外接圆半径即可，连接AO并延长，交BC

8、于D，由垂径定理可知AD⊥BC于D，连接BO，构造Rt△OBD，最后利用勾股定理求出外接圆半径． 【方法总结