梯形与重心专题.doc

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1、梯形与重心知识点一：梯形　　要点诠释：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形。知识点二：等腰梯形　　要点诠释：两腰相等的梯形叫等腰梯形。知识点三：直角梯形　　要点诠释：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。知识点四：等腰梯形的性质　　要点诠释：1.等腰梯形同一个底上的两个角相等。　　　　　　　2.等腰梯形的对角线相等。知识点五：等腰梯形的判定　　要点诠释：1.梯形的定义。　　　　　　　2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。知识点六：四边形的分类　　要点诠释：　　　　知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心　　要点诠释：　　1、线段的中点是线段的重心；三角形

2、三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；平行四边形　　　对角线的交点是平行四边形的重心。　　2、三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。三、规律方法指导　　知识点回顾：　　1、几种特殊梯形的定义、性质、判定方法和面积公式：类别定义性质判定面积公式梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形中位线平行于两底且等于两底和的一半根据定义判定两底之和与高的乘积的一半或中位线与高的乘积等腰梯形两腰相等的梯形1.两腰相等；2.同一底上的两角　相等；3.两条对角线相等4.等腰梯形是轴对　称图形1.根据定义判定；2.同底两角相等的梯形。直

3、角梯形一腰垂直于底的梯形具有梯形的一切性质根据定义判定　　2．梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：　方法作法图形目的平移平移一腰过一顶点作一腰的平行线分解成一个平行四边形和一个三角形过一腰中点作另一腰的平行线构造出一个平行四边形和一对全等的三角形平移对角线过一顶点作一条对角线的平行线构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形作高过一底边的端点作另一底边的垂线构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等延长延长两腰延长梯形的两腰使其交于一点构成两个形状相同的三角形延长顶点和一腰

4、中点的连线连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换类型一：梯形中的辅助线　　1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于，它的两底分别是和，求它的腰长　　思路点拨：已知：如图，在梯形ABCD中，，，.　　　　　　　求：AB的长.　　解析：过点A作交BC于E，　　　　　∵四边形ABCD是等腰梯形，　　　　　∴AD∥BC　　　　　又∵，　　　　　∴四边形AECD是平行四边形.　　　　　∴　　　　　∵　　　　　∴　　　　　∵　　　　　∴是等边三角形.　　　　　又∵，　　　　　∴　　　　　∴　　举一反三：　　【变式1】（平移对角线）已知

5、梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________　　【答案】梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥BC．设AD=x，BC=y，DB=z，　　　　　　由题得：x+y+z=16，　　　　　　，（熟记梯形面积公式）　　　　　　解得x+y=8，z=8，　　　　　　过D作DE∥AC交BC的延长线于E．　　　　　　∴四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）　　　　　　∴DE=AC，AD=CE．（将“上底+下底”转化到一条线段上）　　　　　　在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BE=BC

6、+CE=x+y=8，BD=8，　　　　　　根据勾股定理得，　　　　　　∵AC=DE，　　　　　　．　　【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE．　　【答案】分析：这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB，可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的．　　证明：如图，连结AC，过C作CF⊥AB于F．　　　　　在△CFB和△AEB中，　　（这是直角梯形中常见的辅助线）　　　　　　　　　　∴△CFB≌△AEB（AAS）　　　　　∴CF=AE．　　　　　∵∠D=90°，CF

7、⊥AB且AB∥CD，　　　　　∴AFCD是矩形　　　　　∴AD=CF，　　　　　∴AD=AE．　　　　　在Rt△ADC和Rt△AEC中，　　　　　　　　　　∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL）　　　　　∴CD=CE．　　【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。　　　　　　　　　　　　求证：　　【答案】如图，延长，相交于点，连结，.　　　　　　∵　　　　　　∵、为、的中点，∴，　　　　　　∴，　　　　　　∵∴∴　　　　　　∴、、三点共线　　　　　　∴　　【变式4】（过一腰中点作底边平行线——构造中位线）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的

8、平分线过CD的中点E．