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《实验一 面向微分方程的数值积分法仿真.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、实验一面向微分方程的数值积分法仿真一、实验目的1．掌握数值积分法的基本概念、原理及应用；2．用龙格-库塔法解算微分方程，增加编写仿真程序的能力；3．分析数值积分算法的计算步长与计算精度、速度、稳定性的关系；4.对数值算法中的“病态问题”进行研究。二、实验内容1、已知系统微分方程及初值条件取步长，试分别用欧拉方程法和RK4法求时的值，并将求得的值与解析解比较(将三个解绘于同一坐标中，且用数值进行比较)，说明造成差异的原因。（①编程完成；②选用MATLABode函数完成。）程序代码如下：t0=0;tf=2;h=0.1;y1=1;y2
2、=1;y3=1;t1=0;t2=0;t3=0n=round(tf-t0)/h;fori=1:ny1(i+1)=y1(i)+h*(2*h+y1(i));t1=[t1,t1(i)+h];endfori=1:nk1=y2(i)+t2(i);k2=y2(i)+h*k1/2+t2(i)+h/2;k3=y2(i)+h*k2/2+t2(i)+h/2;k4=y2(i)+h*k3+t2(i)+h;y2(i+1)=y2(i)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;t2=[t2,t2(i)+h];endfori=1:ny3(i+1)=2*exp
3、(t3(i))-t3(i)-1;t3=[t3,t3(i)+h];endplot(t1,y1,'r',t2,y2,'g',t3,y3,'k')实验结果如下；分析：红线为用欧拉法得到的结果，绿线为用四阶龙格—库塔法得到的结果，蓝线为根据解析方程得到的结果。其差异原因主要有两个：1、二者的方法不同，欧拉法是根据一阶微分方程计算得到的，龙格—库塔法是根据四阶微分方程得到的；2、由于步长取为0.1，所以得到的图像与解析解之间存在差异，若将步长取小，则得到的解将更靠近解析解。2、已知系统的传递函数为在单位阶跃输入下，系统响应的解析解为试分别
4、用欧拉方程法和RK4法对系统进行仿真（编程完成）：1）比较两种数值积分解与解析解得逼近程度；（绘图）程序代码如下：num=[40.6];den=[1102722.06];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den);a=[010;001;-22.06-27-10];b=[0;0;1];c=[40.600];X1=[0;0;0];t=0;Y1=0;X=0;u=1;Y2=0;Y3=0;X2=[0;0;0];x=0;h=0.1;t0=0;tf=2;t1=0;t2=0;t3=0;N=(tf-t0)/h;fori=1:Nk1=a*X1
5、+b;k2=b+a*(h*k1/2+X1);k3=b+a*(h*k2/2+X1);k4=b+a*(h*k3+X1);X1=X1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;Y1=[Y1,c*X1];t1=[t1,t1(i)+h];endfori=1:Nx=X2(:,i)+h*(a*X2(:,i)+b*u);y=c*x;X2=[X2,x];Y2=[Y2,y];t2=[t2,t2(i)+h];endfori=1:Ny=1.84-4.95*i*exp(-1.88*i)-1.5*exp(-1.88*i)-0.34*exp(-6.24*i
6、);Y3=[Y3,y];t3=[t3,t3(i)+h];endplot(t1,Y1,'r',t2,Y2,'g',t3,Y3,'b')当h=0.01时的结果当h=0.01时的结果分析：这是我得到的结果，发现两个方法得到的结果与实际结果都有较大差距，当是龙格—库塔法更接近实际的结果。2）改变步长，分析步长对数值解精度的影响；改变步长后，发现只是两根仿真得到的曲线靠近了，但是与实际曲线仍然是差距很大，这是经过仔细的检查和讨论我觉得程序还是对的，不知道错在哪里了。3）不断加大步长，分析计算稳定性的变化。当取h=0.5时，得到的结果：加大
7、步长后结果得到的结果不稳定，不能够很好的对系统进行仿真，另外，由于系统步长选择偏大，根据解析解得到的结果也与实际值有了一定的差距，但是如果步长取得不一样又无法比较。3、求下图所示系统的阶跃响应的数值解。（，，，，）分析、对系统响应的影响。（①编程用RK4求解；②Simulink）程序代码如下：k=1;a=conv([100],conv([0.251],[0.251]))b=[2*kk]X0=[0000];V=1;n=4;T0=0;Tf=10;h=0.25;R=1;b=b/a(1);a=a/a(1);A=a(2:n+1);A=[r
8、ot90(rot90(eye(n-1,n)));-fliplr(A)];B=[zeros(1,n-1),1]';m1=length(b);C=[fliplr(b),zeros(1,n-m1)];Ab=A-B*C*V;X=X0';y=0;t=T0;N=round(
