数值积分法仿真

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1、第三章数值积分法仿真Overview数值积分方法的原理是什么？病态系统的特点和仿真算法选取？算法的稳定性分析？第一节数字仿真原理在连续系统的仿真中，数值积分法可分为两大类：单步法：以龙格-库塔法为代表多步法：以Adams法为代表数值积分法的要素：基本特性：稳定性空间特性：精度时间特性：速度数值积分基本原理连续系统的仿真，主要是对一阶微分方程（组）的求解可见仿真关键是对Qm准确，快速的求解步长：将时间t离散t(k)(k=1,2,…n)，相邻两点的距离为步长，即h=t(k+1)-t(k)步进法：数值积分法求近似解根据初始值y0，按照离散的时间序列步进求解。t0t1t2t3…

2、tny0y1y2y3…tn计算格式：由y(k)计算出y(k+1)（k=0,1,…,n)的递推公式。数值积分基本名词数值积分的基本性能基本性能数值积分算法的性能包含：定性特征：稳定性时间粒度：计算速度空间粒度：计算精度不同的数值积分方法的具有不同的稳定性。同一个模型采用不同的积分算法和不同的积分步长h，稳定性不同。计算速度和计算精度各种数值积分方法的差分方程是对原微分方程的近似逼近，并且因为计算机的字长有限，存在明显的截断误差。这些误差都和计算步距h密切相关，所以计算步距是影响计算精度、速度和稳定性的重要因素。h取得较大，计算时间少，截断误差大；h取得较小，截断误差就

3、会减小，但在给定时间范围内，计算次数必然增加，使误差积累增加。截断误差、累计舍入误差与步长h截断误差、累计舍入误差与步长h关系如图。图中可知，两种误差对步距的要求是矛盾的，但两者之和有一个最小值，步距最好能选在最小值。然而，实际要做到这一点是很困难的。一般只能根据经验确定一个合理步长区，通常将步长h限制在系统的最小时间常数数量级上。引理：泰勒级数:如果f(x)在x0点处任意阶可导,则在该邻域内的n阶泰勒公式为：第二节单步法单步数值积分法的核心就是泰勒级数的近似。2.1一阶欧拉法对于一阶微分方程故一般的一阶欧拉法递推形式为：一阶欧拉法图示2.22阶龙格-库塔对于一阶微分方程2阶龙

4、格-库塔2阶龙格-库塔2阶龙格-库塔故一般的二阶龙格-库塔法递推形式为：2阶龙格-库塔只取到泰勒级数展开式中y的二阶导数项，略去了三阶以上高阶导数项。其截断误差正比于步长h3为纪念提出该方法的德国数学家C.Runge和M.W.Kutta，称这种计算方法为二阶龙格-库塔法。2阶龙格-库塔图示比较高阶龙格-库塔(RK-4)一般在计算精度要求较高的情况下，多使用四阶龙格-库塔法。其计算公式为,其截断误差正比于步长h5高阶龙格-库塔(RK-4)单步法的特点单步法以上介绍的几种数值积分公式，有一个共同的特点，由于采用了泰勒级数展开，在本次计算中，仅仅用到前一步的计算结果，而不需要利用更前

5、面各步的结果。这类计算方法称为单步法。单步法运算有下列优点：(1)需要存储的数据量少，占用的存储空间少。(2)给定初值，就可启动递推公式进行运算(自启动计算能力)(3)容易实现变步长第三节变步长龙格-库塔法步长控制是实现高精度的仿真算法的手段之一。实现步长控制涉及：局部误差估计步长控制策略3.1误差估计通常设法寻找一个低一阶的龙格-库塔公式，两者的结果之差可以设为误差。为减少计算量，Ki通常要求公用。Runge-Kutta-Merson法(RK34)Runge-Kutta-Fehlberg(RK45)计算公式为5阶6级，误差估计低阶公式为4阶五级，具有四阶误差估计和五阶精度，称

6、为RK45法。RK45被公认为对非病态系统仿真的最有效的方法之一。Runge-Kutta-Fehlberg(RK45)iaibijcic*i1016/13525/21621/41/40033/83/329/326656/128251408/2565412/131932/2197-7200/21977296/219728561/564302197/410451439/216-83680/513-847/4104-9/50-1/561/2-8/272-3544/25661859/4104-11/402/550RKF-12RKS-34（1978，Shamping）3.2步长控制步长控

7、制策略一般分为：1）加倍-减半法2）最优步长法步长控制：加倍-减半法加倍-减半法步长控制：最优步长法1.2.2步长控制龙格-库塔方法的一般形式各种龙格-库塔法的公式都由两部分组成，一个是上一步结果，另一个是步长乘以各点导数的加权和。平均斜率第三节线性多步法单步法运算基于泰勒级数展开法，其特点是：(1)需要存储的数据量少，占用的存储空间少。(2)给定初值(t0,y0)，就可启动递推公式进行运算(自启动计算能力。(3)容易实现变步长积分。可有效平衡计算速度和精度之间的矛盾。多步法的基本原理是多项