计算机仿真教案02-第二章数值积分法的系统仿真

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1、第二章数值积分法的系统仿真仿真技术基础2.1概述2.1概述连续系统仿真，从本质上：对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统进行离散化并选择合适的数值计算方法来近似积分运算在数值积分法的计算中，只计算了采样点的值，相当于是对系统模型进行了离散化处理，所以从本质说，数值积分法也是离散化方法，只不过它是从数值积分的角度出发，没有明确提出“离散”这个概念2.1概述1.相似原理其中u(t)为输入变量，y(t)为系统变量；令仿真时时间隔为h，离散化后的输入变量为系统变量为其中表示t=nh设系统模型为如果即（对所有n=0,1,2,…）则可认为两

2、模型等价2.1概述2.1概述2.对仿真建模方法三个基本要求：（1）稳定性：不改变原系统的稳定性若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的若原连续系统是不稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是不稳定的（2）准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是：绝对误差准则：相对误差准则：其中规定精度的误差量2.1概述（3）快速性：若第n步计算所对应的系统时间间隔为3.数值积分算法：计算机由计算需要的时间为Tn，若Tn=hn称为实时仿真Tnhn称为超实时仿真Tnhn称为亚实时仿真对，已知系统变量的初始条件求随时间变化的

3、过程－－初值问题2.1概述计算过程：由初始点的2.2数值积分法2.2数值积分法2.2.1欧拉法节点间距为步长，通常可采用等距节点，即取hi=h(常数)。2.2数值积分法要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0

4、算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y(xi+1)yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。欧拉法的局部截断误差：定义：欧拉法具有1阶精度1.1引言（1）隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/2.2数值积分法2.欧拉公式的改进：用向后差商近似导数由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式一般先用显式计算一个初值，再迭代求解隐式欧拉法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有1阶精度)

5、)(,()(1101xyxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiiix0x1（3）中点欧拉公式/*midpointformula*/2.2数值积分法（2）梯形公式/*trapezoidformula—显、隐式两种算法的平均中心差商近似导数注：即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。假设，则可以导出即中点公式具有2阶精度。2.2数值积分法比较：方法显式欧拉隐式欧拉梯形公式中点公式简单精度低稳定性最好精度低,计

6、算量大精度提高计算量大精度提高,显式多一个初值,可能影响精度2.2数值积分法3改进的欧拉法/*modifiedEuler’smethod*/Step2:再将代入隐式梯形公式的右边作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxifyixifhyiy此法亦称为预测-校正法/*predictor-correctormethod*/。可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。它的稳定性高于显式欧拉法。Step1:先用显式欧拉公式作预测，算出),(1iiiiyixif

7、hyiy+=+收敛性/*Convergency*/2.2数值积分法4收敛性/*Convergency*/定义：若某算法对于任意固定的x=xi=x0+ih，当h0(同时i)时有yiy(xi)，则称该算法是收敛的。例：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。解：该问题的精确解为欧拉公式为对任意固定的x=xi=ih，有2.2数值积分法例1.解:由前进Euler公式用公式求初值问题显然取2.2数值积分法得01.00000.10001.10000.20001.19180.30001.27740.40001.35820.50001.

8、43510.60001.50900.70001.58030.80001.64980.90001.71781.00001.78482.2数值积分法用Euler公式的预测——校正系统求解例1例2解:由预测－校正公式,有2.2数值积分法依此类推,得01.