第十三讲向量的概念及向量的线性运算.doc

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1、第十三讲向量的概念及向量的线性运算●课前预习BACD·O第3题图ABPQC第1题图第5题图1．如图，设P，Q是△ABC的BC边上的三等分点，若＝b，＝c，则＝；＝．2．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量b＝e1+le2（l∈R）与向量a＝2e1－e2共线的充要条件是l=．3．已知在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC上的高，O为AD的中点，若，则l+3m＝．4．已知和点M满足.若存在实使得成立，则=5．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且

2、

3、＝

4、

5、＝1，

6、

7、

8、＝，若＝l+μ（l，m∈R），则l+m的值为．●典例精析【例1】已知，不共线，设（l，m∈R），求证：A，B，M三点共线的充要条件是l+m＝1．练习：1.若平面内共线的A，B，C三点满足条件：，其中{an}为等差数列，则a1005＝．2.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是.10ABCODM例2图【例2】如图，在△ABC中，OA⊥OB，，，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，试以{a，b}为基底表示．CMBA例3图【例3】若点M是△ABC所在平面内的

9、一点，且满足，求△ABM与△ABC的面积之比．ABCDE··F●课内练习1．如右图，在三角形中，，分别为，的中点，为上的点，且.若，则实数，实数.2．若O是平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，且满足（），则P点轨迹一定过△ABC的（填外心、内心、重心、垂心之一）．3.如图，已知△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.(1)用a和b表示向量、；(2)若＝λ，求实数λ的值．4．已知O是△ABC内的一点，，则△AOB与△AOC的面积的比值为．5.

10、在△ABC中，O为外心，AB=2，AC=3，，其中x+2y=1，10则cosBAC=．第十三讲向量的概念及向量的线性运算●课前预习1．如图，设P，Q是△ABC的BC边上的三等分点，若＝b，＝c，则＝；＝．BACD·O第3题图ABPQC第1题图第5题图答案：b+c；b+c．提示：＝+＝+＝+(－)＝+＝b+c；同理可得．2．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量b＝e1+le2（l∈R）与向量a＝2e1－e2共线的充要条件是l=．答案：－．提示：b与a共线，当且仅当存在实数m，使得e1+le2＝m(2e1－e2)，又e

11、1，e2是两个不共线的向量，∴m＝，从而充要条件是l＝－．3．已知在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC上的高，O为AD的中点，若，则l+3m＝．答案：1．提示：∵O为AD的中点，∴，又AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC上的高，∴BD＝1，＝，∴2l＝1，且2m＝．∴l＝，m＝．4．已知和点M满足.若存在实使得成立，则=答案：3.提示：由题目条件可知，M是的重心，而，所以5．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且

12、

13、＝

14、

15、＝1，

16、

17、＝，若＝l+μ

18、（l，m∈R），则l+m的值为．答案：6．提示：根据向量加法的平行四边形法则，将分解成与，共线的两向量，的和，即＝+，由条件△COA¢为Rt△，△COB¢为Rt△．易求

19、

20、＝

21、

22、÷＝4，

23、

24、＝

25、

26、＝2．∵

27、

28、＝

29、

30、＝1，∴l＝4，μ＝2，∴l+m10＝6．●典例精析【例1】已知，不共线，设（l，m∈R），求证：A，B，M三点共线的充要条件是l+m＝1．解：充分性：∵l+m＝1，∴，∴，即，∴与共线，又与有公共点B，∴A，B，M三点共线．必要性：∵A，B，M三点共线，∴与共线，∴存在实数m，使得，∴，即．∴l＝m，m＝

31、1－m，∴l+m＝1．练习：1.若平面内共线的A，B，C三点满足条件：，其中{an}为等差数列，则a1005＝．提示：由题意，a2+a2008＝1，∴2a1005＝a2+a2008＝1，∴a1005＝．2.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则的取值范围是.解：，而且点在圆外，，由得，又因为三点共线，.【例2】如图，在△ABC中，OA⊥OB，，，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，试以{a，b}为基底表示．ABCODM例2图解：由A、M、D三点共线可设，由B、M、C三

32、点共线可设．∵＝a+l(－a+b)＝(1－l)a+lb，又＝b+m(－b+a)＝ma+(1－m)b，且a，b不共线，10∴．解得，∴＝a+b．CMBA例3图【例3】若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，求△ABM与△ABC的面积之比．解：∵＝+，CMBGEHAF例3图∴＝－＝+－＝(－)＝，∴M恰好在BC边上，过M分别作ME∥AC，MF∥A