第四章 环与域.doc

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1、第四章环与域§1环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为，⊕，又R对作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对满足左、右分配律

2、，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R无零因子且阶大于1，则R中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数．有单

3、位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子．二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l中的元素就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知是R的一个右零因子，但它却不是R的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把

4、非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法：定义1无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)．定义2阶大于l且无零因子的交换环，称为整环．定义3有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的

5、方法也有很多原因，现举一例。本章§8定理1：设P是交换环R的一个理想．则P是R的素理想R／P是整环．这样看起来本定理表述显得干净利索．但若整环按定义2(或定义3、4)要求，那么以上定理表述就需变动．究竟要怎样变动，作为练习请读者自己给出．。’三、习题4．2解答１．２．３．４．５．６．７．设R是一个无零因子的环．证明：若偶数，则R的特征必为2．８．证明：P—环无非零幂零元．§4.3除环和域一、主要内容1．除环和域的定义及例子．四元数除环．2．有限环若有非零元素不是零因子，则必有单位元，且每个非零又非零因子的元素都是可逆元．3．有单位元环的乘群(单位群)的定义和例子．有单位元的环的

6、全体可逆元作成的群，称为该环的乘群或单位群．除环或域的乘群为其全体非零元作成的群；整数环Z的乘群为Z﹡＝｛１，－１｝；数域上n阶全阵环的乘群为全体n阶可逆方阵对乘法作成的群；Gauss整环的乘群为U(Z[i])＝｛１，－１，i－i，｝．二、释疑解难1．阶大于l的有限环可分为两类：”1)一类是有零因子的有限环．例如，有限集M(＞1)上的幂集环P(M)，不仅是个有零因子的有限环，而且除单位元M外其余每个非零元素都是零因子；后面§５所讲的以合数n为模的剩余类环Zn也是一个有零因子的有限环．2)另一类就是无零因子的有限环．实际上根据本节推论和魏得邦定理可知，这种有限环就是有限域．例如，

7、以素数p为模的剩余类环Zp以及教材第六章所介绍的伽罗瓦域都属于这种倩形．这就是说，阶大子1的有限环或者有零因子或者无零因子，从而为域．与群定义中要求两个方程ax＝b与ya＝b都有解不同,这里仅要求方程ax＝b或ya＝b(0≠a,b∈R)中有一个在R中有解即可．教材中利用方程ax＝b有解得到R的全体非零元有右单位元且每个非零元素都有右逆元，从而得到R是除环．如果利用方程ya＝b在R中有解，则将得到R的全体非零元有左单位元且每个非零元都有左逆元，从而也得到只是除环．3．关于有单位元环的单位群．设