近世代数基础-第三章-环与域.doc

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1、第三章环与域本章主要讨论两种代数系统，在高代中看到了，全体整数作一个环，全体有理数，全体实数或全体复数都作一个域，由此可见，环与域这两个概念的重要性。§3.1加群、环的意义●课时安排约1课时●教学内容本书P80-84定义：一个交换群叫做一个加群，假如我们把这个群的代数运算叫做加法，并且用符号+来表示。在群中有零元、负元定义：一个集R叫做一个环，假如：1、R是一个加群；‘2、R对乘法运算封闭3、适合结合律4、两个分配律成立●教学重点加群和环的定义●教学难点环的运算性质的证明●教学要求了解加群和环的关系●布置作业P842●精选习题P841§3.2交换律

2、、单位元、零因子、整环●课时安排约1课时●教学内容本书P84-P89定义：一个环R叫做一个交环环，假如ab=ba不管a1b是R的哪两个元定义：一个环R的一个元e叫做一个单位元。假如对R的任意元a来说，都有：ea=ae=a例1：书上P85定义：一个有单位元环的一个元b叫做a的一个逆元。假如：ba=ab=1例2：P86定义：若是在一个环里a≠0，b≠0，但ab=0则a是环的一个左零因子，b是一个右零因子。例3：P88定理：在一个没有零因子的环里两个消去律都成立。a≠0,ab=ac=>b=ca≠0,ba=ca=>b=c反之也成立推论：在一个环里如果有一个

3、消去律成立，那么另一个消去律也成立。定义：一个环R叫做一个整环，假如：61、乘法适合交换律：ab=ba；2、R有单位元1：

4、a=a

5、=a3、R没有零因子：ab=0=>a=0或b=0●教学重点交换环、整环、单位元、零因子●教学难点剩余类环和定理的证明●教学要求掌握以上内容●布置作业P891，2，5●精选习题P893，4§3.3除环、域●课时安排约1课时●教学内容P89-93例1：P90例2：P90定义：一个环R叫做一个除环，假如：1、R至少包含一个不等于零的元；2、R有一个单位元；3、R的每一个不等于零的元有一个逆元。定义：一个交换除环叫做一个域。例

6、3：P92为了上述内容的关系看得更清楚，注意如下列表环交换环有单位元环无零因子环整环除环域●教学重点除环和域●教学难点它们之间的关系●教学要求正确理解上述表●布置作业P931，2，4●精选习题P933，5§3.4无零因子环的特征●课时安排约1课时●教学内容P93-97例1：P946例2：P95定理1：在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。定义：一个无零因子环R的非零元的相同的阶叫做环R的特征。定理2：如果无零因子环R的特征是有限整数m，那么n是一个素数。●教学重点特征●教学难点两个定理的证明过程●教学要求掌握本节内容●

7、布置作业P971●教学辅导P972，3，4§3.5子环、环的同态●课时安排约2课时●教学内容P97-101定义：一个环R的一个子集S叫做R的一个子环，假如S本身对R的代数运算来说作成一个环。例1：P98例2：P98定理1：若是存在一个R到R的满射，使得R与R对于一对加法以及一乘法来说都同态，那么R也是一个环。定理2：假定R和R是两个环，并且R与R同态，那么，R的零元的象是R的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元，并且，假如R是交换环，那么R也是交换环，假如R有单位元1，那么R也有单位元1，而且1是1的象。定理3：假定R同R是两个环，并且R≌R，那

8、么，若R是整环，R也是整环，R是除环，R也是除环，R是域，R也是域。引理：P99定理4：假定S是环R的子环，S在R里的补足集合与另一个环S没有共同元，并且S≌S，那么存在一个R同构的环R，而且S是R的子环。●教学重点同态和同构定理●教学难点引理和定理4的证明●教学要求理解同构、同态思想●布置作业P1011，2，3●教学辅导P1014，5，6§3.6多项式环●课时安排约2课时●教学内容P101-109定义：一个可以写成a0+a1∝+….+an∝n(a1∈R,n≥0的整数)形式的R0的元叫做R上的∝的一个多项式。ai叫做多项式的系数定义：R[∝]叫做R

9、上的∝的多项式环。定义：R0的一个元X叫做P上的一个未定元，假如在R里找不到不都等于零的元6a0,a1,….an来，使得a0+a1x+….+anxn=0定义：令a0+a1x+….+anxn，an≠0是环R上的一个一元多项式，那么非负整数n叫做这个多项式的次数，多项式o没有次数。定理1：给了一个有单位元的交换环R，一定有R上的未定元X存在，即R上的多项式环R[X]存在。定义：一个有∑ai1i2…in∝1i1∝2i2…∝nin的形式的元叫做R上的∝1,∝2,…∝n的一个多项式；ai1..in叫做多项式的系数。定义：R0的n个元X1，X2…,Xn叫做R上

10、的无关未定元，假如任何一个R上的X1，X2,…，Xn的多项式都不会等于零，除非这个多项式的所有系数都等于零。定理2：给了一