数学人教版八年级上册最短路径问题的应用.ppt

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1、义务教育教科书八年级上册最短路径问题的应用海林市新安中心学校王洪义1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。2、将实际问题抽象成几何图形的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学建模思想。3、通过有趣的问题提高学生学习数学的兴趣，体验数学来源于生活并应用于生活的道理。学习目标问题1：一条笔直的河两侧有A、B两个村庄，现要在河l边修一座水泵站向两个村庄引水，怎样确定水泵站的位置，使它到两个村庄的距离最短？lA..B将A，B两村庄转化为两个点，将河转化为一条直线．问题1：一条笔直的河两侧有A、B两个村

2、庄，现要在河l边修一座水泵站向两个村庄引水，怎样确定水泵站的位置,使它到两个村庄的距离最短？A.l.BC连接AB与直线l相交于点C，点C就是水泵站的位置，此时AＣ＋ＢＣ最短．问题2:如果A、B两村庄在河的同侧呢？B··Al将A，B两村庄转化为两个点，将河转化为一条直线。问题2:如果A、B两村庄在河的同侧呢？你打算怎么做？在直线l上确定水泵站C的位置，使AC与BC的和最小。B··Al.C作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所点．此时AC＋BC最小。追问：如图，点A，B在直线l的同侧，当点C在l的什么位置

3、时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C归纳总结：1、利用“两点之间，线段最短”来解决最短路径的问题。2、利用轴对称的性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和另一已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决最短路径问题。1、如图所示，牧马人在一条笔直的小4KM的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8KM北7KM处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，则他要完成这些事情所走的最短路程是多少？探究巩固A.B.l北东O1、如图所示，牧马人在一条笔直的小河南4KM的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8KM北7KM处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，

4、则他要完成这些事情所走的最短路程是多少？解：作点A关于直线l的对称点C，连接BC与l交于点D，点D就是饮马的位置此时AD＋BD最短，即BC的长。证明：由题意、图形可知AC＝8、OA＝7、OB＝8AD＝CD∠BOC＝90°∴AD＋BD＝CD＋BD＝BC∵OB2＋OC2＝BC2∴82＋（7＋8）2＝BC2∴BC2＝64＋225＝289∴BC＝17∴他要完成这些事情所走的最短路程是17KM。.BA.l北东C.DO2、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上点求PB＋PE的最小值。ABCDEP2、如图，在正方形ABCD中，E是

5、AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点求PB＋PE的最小值。解：过点E作关于AC的对称点Ｈ。连接BH于AC交于点P，连接PE∵四边形ＡＢＣＤ是正方形∴ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝９０°∵ＢＥ＝２，ＡＥ＝３ＢＥ∴ＡＥ＝６，ＡＢ＝ＡＤ＝８∵ＡＣ是对角线，ＥＯ⊥ＡＣ∴ＡＥ＝ＡＨ＝６，ＰＥ＝ＰＨ∴ＰＢ＋ＰＥ＝ＰＢ＋ＰＨ＝ＢＨ在Ｒt△ＢＡＨ中，ＡＨ＝６ＡＢ＝８∴ＢＨ＝１０∴ＰＢ＋ＰＥ＝１０∴ＰＢ＋ＰＥ的最小值是10ABCDEPOＨ2、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点求PB＋PE的最小值。ABCDEPO3、如

6、图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB上的一点，且AE＝3，Q是对角线AC上点，△BEQ的周长的最小值是多少？ABCDQE3、如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB上的一点，且AE＝3，Q是对角线AC的点，△BEQ的周长的最小值是多少？ABDCHＥＱＯ解：过点E作关于AC的对称点H，连接BH与AC交于点Q，连接EQ。如图，由题意可知AE＝AH，EQ＝HQ，∠BAD＝90°。此时EQ＋BQ最短。∴△BEQ的周长有最小值，最小值为BE＋BQ＋EQ。即BE＋BH∵AB＝4AE＝3∴BE＝1AH＝3∵∠BAD＝90°∴BH＝5∴△BEQ的周长的最小值是

7、6.课堂小结1、本节课你有哪些收获？2、解决最短路径问题中，我们应用了哪些数学思想方法？归纳总结：1、利用“两点之间，线段最短”来解决最短路径的问题。2、利用轴对称的性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和另一已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决最短路径问题。新安中学八年二班举行文艺晚会，桌子摆放如图所示（图中OA、OB），OA上摆满了苹果，OB上摆满了糖果，站在C处的张强先拿苹果再拿糖果，然后回到D处的座位上，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短。C..DAOB布置作业