第2章 《圆锥曲线与方程-2-1 (2).doc

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1、第2章《圆锥曲线与方程-2.4-2.4.1》同步练习一、填空题1．(2013·扬州高二检测)抛物线y2＝x的焦点坐标为________．【解析】　抛物线y2＝x的焦点在x轴的正半轴上，且p＝，∴＝，故焦点坐标为(，0)．【答案】　(，0)2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是________．【解析】　因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.【答案】　y2＝8x3．已知点(－2，3)与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离是5，则p的值为________．【解析】　∵抛物线的焦点坐标为F(，

2、0)，∴(＋2)2＋9＝25，∴p＝4.【答案】　44．(2013·苏州高二检测)抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a＝________．【解析】　由y＝ax2得x2＝y＝2·y，由题意得－＝1，即－＝1，得a＝－.【答案】　－5．经过点(1，2)的抛物线的标准方程为________．【解析】　设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny，将(1，2)代入，得m＝4或n＝，∴y2＝4x或x2＝y.【答案】　y2＝4x或x2＝y6．若抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x＋y＋2＝0上，则此抛物线方程是________．【解析】　易求焦点坐标为(0，－2

3、)，(－2，0)，∴抛物线方程为x2＝－8y或y2＝－8x.【答案】　x2＝－8y或y2＝－8x7．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________．【解析】　双曲线离心率为e＝＝2，而抛物线焦点为(1，0)．∴c＝1，解得m＝，n＝，∴mn＝.【答案】　8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么PF＝________．【解析】　由直线AF的斜率为－，得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，∴∠PAF＝60°.又由抛物线的定义知PA＝PF

4、，∴△PAF为等边三角形，由HF＝4得AF＝8，∴PF＝8.【答案】　8二、解答题9．求适合下列条件的抛物线方程．(1)准线x＝4；(2)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点．【解】　(1)∵准线为x＝4，∴＝4，p＝8，∴抛物线的标准方程为y2＝－16x.(2)双曲线方程可化为－＝1，∴双曲线左顶点为(－3，0)，∴＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝－12x.10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．【解】　法一　根据问题的已知条件，抛物线方程应设为y2＝－2px

5、(p>0)，则焦点是F(－，0)．∵点M(－3，m)在抛物线上，且MF＝5，故解得或∴抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.法二　设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝.∵M(－3，m)是抛物线上的点，根据抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，∴

6、－3

7、＋＝5，∴p＝4，抛物线方程为y2＝－8x.又∵点M(－3，m)在抛物线上，故m2＝(－8)×(－3)，∴m＝±2.11．定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标．【解】　如图，设F是y2＝x的焦点，M为AB中点

8、，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，且M到准线的垂线为MN，C、D和N是垂足，则MN＝(AC＋BD)＝(AF＋BF)≥AB＝.设M点的横坐标为x，纵坐标为y，MN＝x＋，则x≥－＝.等式成立的条件是AB过点F.设A、B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x＝时，y1y2＝－p2＝－，故(y1＋y2)2＝y＋y＋2y1y2＝2x－＝2，y1＋y2＝±，y＝±.所以M(，±)，此时M到y轴的距离的最小值为.