必修五基本不等式讲义.doc

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1、3.4基本不等式一、基本不等式：1、重要不等式：2＋b2≥2ab(a、b∈R)当且仅当“＝b”时“＝”成立。注意：（1）不等式成立的条件是“＝b”，如果、b不相等，则“＝”不成立；（2）不等式的变形：①b≤②b≤③≥≥④2(2＋b2)≥(＋b)22、基本不等式：≥(、b∈R＋)当且仅当“＝b”时“＝”成立。注意：（1）内容：＞0，b＞0，当且仅当“a＝b”时“＝”成立；（2）其中叫做正数、b的算术平均数，叫做正数、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。例1：求证对于任意实数，b，c，有2＋b2＋c2≥b＋bc＋

2、c，当且仅当＝b＝c时等号成立。【证明】：∵a2＋b2≥2abc2＋b2≥2bca2＋c2≥2ac∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca当且仅当a＝b＝c时等号成立。变式练习1：若0＜＜1，0＜b＜1，且≠b，则＋b，2，2b，2＋b2中最大的一个是（）A：2＋b2B：2C：2bD：＋b变式练习2：下列不等式：（1）x＋≥2；（2）｜x＋｜≥2；（3）若0＜＜1＜b，则logab＋logba≤－2；（4）若0＜a＜1＜b，logab＋logba≥2。其中正确的是_____________

3、__。均值不等式推广：≤≤≤调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数8当仅且当“a＝b”时“＝”成立。二、最值定理已知x、y都是正数。（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2，即x＋y≥2；（2）如果和x＋y就定值S，那么x＝y时，积xy有最大值，即xy≤。利用基本不等式必须满足三个条件：“一正”、“二定”、“三取等”。应用一：求最值例2：已知函数f(x)＝3x＋(x≠0)（1）当x＞0时，求函数的最值；（2）当x＜0时，求函数的最值；【解析】：（1）当x＞0时，f(x)＝3x＋≥2＝12当且仅当3x＝，即x＝2时

4、，“＝”成立。（2）当x＜0时，－x＞0，f(x)＝3x＋＝－(－3x＋)≤－2≤－12，当且仅当－3x＝－时，即x＝－2时，“＝”成立。变式练习：求下列函数的最值（1）y＝3x2＋（2）y＝x＋应用二：凑项例3：已知x＜，求函数f(x)＝4x－2＋的最大值。【解析】：解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。变式练习1：f(x)＝＋x(x＞3)的最小值为_____________。8例4：当0＜x＜4时，求f(x)＝x(8－2x)的最大值。【解析】：当，即x＝2时取等

5、号当x＝2时，的最大值为8。变式练习1：设，求函数的最大值。【解析】：∵∴∴当且仅当即时等号成立。变式练习2：，求函数f(x)＝的最大值。应用三：分离例5：若x＞0，求函数f(x)＝的最值。变式练习1：当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________。变式练习2：已知x＞－1，求函数f(x)＝的最小值。【解析】：当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。变式练习3：若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围为___。应用四：整体代换例6：已知，且，则的最小值是______________。8变式练习1：已知x＞0，y＞0，且2x＋y

6、＝1，则的最小值为________。变式练习2：已知，且，则的最小值是______________。变式练习3：若函数f(x)＝－2(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0，其中m、n均大于0，则的最小值为_____________。变式练习4：设x＞0，y＞0且x＋2y－2xy＝0，若x＋2y－m≥0恒成立，则实数m的取值范围是______________。【解析】：x＋2y－2xy＝0，＋＝1，则(x＋2y)(＋)≥4，故m≤4变式练习5：已知正项等比数列{}满足＝2＋3，若存在不同的两项、使得＝3×，则的

7、最小值是______________。【解析】：应用四：条件最值例7：若实数满足，则的最小值是___________。【解析】：都是正数，≥当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6。变式练习1：若，求的最小值，并求x，y的值。【解析】：∵log4x＋log4y＝log4(x×y)＝2，∴x×y＝16∴＝＝≥＝，当且仅当x＝y＝4时“＝”成立。8变式练习2：已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，＞0)在x＝3时取得最小值，则＝__________。【解析】：6变式练习3：设x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1，若＋－m≥0恒成立，则实数

8、m的取值范围是_________________。【解析】：＋－m≥0恒成立，则＋≥m恒成立，则令f(x)＝＋＝＋＝1＋＋≥3，故m≤3。应用五：换元例8：求函数f(x)＝的最值。【解析】：f(x)＝＝＋[不能用均值不等