基本不等式讲义

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1、基本不等式知识点：1.(1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）2.(1)若，则(2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则(当且仅当时取“=”）3.若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）4.若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）5.若，则（当且仅当时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际

2、问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋（2）y＝x＋解题技巧技巧一：凑项例已知，求函数的最大值。技巧二：凑系数例：当时，求的最大值。变式：设，求函数的最大值。技巧三：分离技巧四：换元例：求的值域。技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。例：求函数的值域。技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。例：已知，且，求的最小值。技巧七例：已知x，y为正实数，且x2＋＝1，求x的最大值.技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.技巧九、取平方例:求函数的

3、最大值。应用二：利用均值不等式证明不等式例：已知a、b、c，且。求证：应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若，则的大小关系是.1．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是(　　)．A．10B．6C．4D．182．设a＞0，b＞0，下列不等式中，不正确的是(　　)．A．a2＋b2≥2

4、ab

5、B.＋≥2C.＋≥a＋bD.＋≤3．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)．A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤34．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围

6、是________．5．下列不等式：①a2＋1＞2a；②≥2；③≤2；④x2＋≥1.其中正确的个数是________．6．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋≤2.7．下列结论正确的是(　　)．A．当x＞0且x≠1时，lgx＋≥2B．当x＞0时，＋≥2C．当x≥2时，x＋最小值为2D．当0＜x≤2时，x－无最大值8．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个数大于1”的条件是(　　)．A．②③B．①②③C．③④⑤D．③10．下列不等式的证明过程：(1)若a，b∈R，则＋≥2＝2；(2)若x

7、＞0，y＞0，则lgx＋lgy≥2；(3)若x，y∈R，则＝

8、x

9、＋≥2；(4)若a，b∈R，ab＜0，则＋＝－≤－2＝－2.其中正确的序号是________．11．设a，h分别为△ABC的底边和高，且满足ah＋4a＋h＝12，求△ABC的面积S的最大值．1．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是(　　)．A．2B．2C．4D．52．函数y＝3x2＋的最小值是(　　)．A．3－3B．－3C．6D．6－33．下列函数中，最小值为4的函数是(　　)．A．y＝x＋B．y＝sinx＋(0＜x＜π)C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx814．当x＝________时，函数f(

10、x)＝x2(4－x2)(0＜x＜2)取得最大值________．5．某公司一年购买某种货物200吨，分成若干次均匀购买，每次购买的运费为2万元，一年存储费用恰好为每次的购买吨数(单位：万元)，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买________吨．6．已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．7．若x＋≥a2－a对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)．A．a≤－2或a≥1B．a≤－1或a≥2C．－2≤a≤1D．－1≤a≤28．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是(　　)．A．0B．1C．2D．49．函

11、数y＝＋的最大值为______．10．若函数y＝f(x)的值域是，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是________．11．求函数y＝(x＞－1)的最小值．12．(创新拓展)已知正常数a，b和正变数x，y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值是18，求a，b的值．