必修五基本不等式讲义

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1、--3.4基本不等式abab2一、基本不等式：abab21、重要不等式：a2＋b2≥2ab(a、b∈R)当且仅当“a＝b”时“＝”成立。注意：（1）不等式成立的条件是“a＝b”，如果a、b不相等，则“＝”不成立；（2）不等式的变形：①ab≤a2b2②ab≤(ab)2③a2b2≥(ab)2≥ab2222222④2(a＋b)≥(a＋b)2、基本不等式：ab≥ab(a、b∈R＋)当且仅当“a＝b”时“＝”成立。2注意：（1）内容：a＞0，b＞0，当且仅当“a＝b”时“＝”成立；（2）其中ab叫做正2数a、b的算术平均数，ab叫做正数a、b的几何平均数，

2、即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。例1：求证对于任意实数a，b，c，有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时等号成立。a2＋b2≥2abc2＋b2≥2bca2＋c2≥2ac【证明】：∵222≥2ab＋2bc＋2ac，∴222≥ab＋bc＋ca∴2(a＋b＋c)a＋b＋c当且仅当a＝b＝c时等号成立。变式练习1：若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2ab，2ab，a2＋b2中最大的一个是（）A：a2＋b2B：2abC：2abD：a＋b变式练习2：下列不等式：（1）x＋1≥2；（2）｜x＋1｜≥2；（3）若0＜

3、a＜1＜b，则xx----logab＋logba≤－2；（4）若0＜a＜1＜b，logab＋logba≥2。其中正确的是_______________。均值不等式推广：2ab≤aba2b2≤2≤211ab调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数当仅且当“a＝b”时“＝”成立。----1----二、最值定理已知x、y都是正数。（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P，即x＋y≥2xy；（2）如果和x＋y就定值S，那么x＝y时，积xy有最大值S2，即xy≤(xy)2。42利用基本不等式必须满足三个条件：“一正”、“二定”、“三取

4、等”。应用一：求最值例2：已知函数f(x)＝3x＋12(x≠0)x（1）当x＞0时，求函数的最值；（2）当x＜0时，求函数的最值；【解析】：（1）当x＞0时，f(x)＝3x＋12≥23x12＝12xx当且仅当3x＝12，即x＝2时，“＝”成立。x（2）当x＜0时，－x＞0，f(x)＝3x＋12＝－(－3x＋12)≤－23x12≤－12，xxx当且仅当－3x＝－12时，即x＝－2时，“＝”成立。x变式练习：求下列函数的最值（1）y＝3x2＋1（2）y＝x＋12x2x应用二：凑项例3：已知x＜5，求函数f(x)＝4x－2＋1的最大值。44x5【解析】

5、：解：因50，所以首先要“调整”(4x1----4x符号，又不是常数，所以2)4x5对4x2要进行拆、凑项，x5y4x2154x13231,54x0，4x54x451，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。当且仅当54x54x变式练习1：f(x)＝1＋x(x＞3)的最小值为_____________。x3----2----例4：当0＜x＜4时，求f(x)＝x(8－2x)的最大值。【解析】：当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。变式练习1：设03，求函数y4x(32x)的最大值。x2【解析】：∵0x32x0∴3222

6、x2∴y4x(32x)22x(32x)32x922当且仅当2x32x,即x30,3时等号成立。42变式练习2：0x2x(23x)的最大值。，求函数f(x)＝3应用三：分离例5：若x＞0，求函数f(x)＝x的最值。3xx21变式练习1：当x＞0时，则f(x)＝2x的最大值为________。2x12变式练习2：已知x＞－1，求函数f(x)＝x7x10的最小值。x1【解析】：当,即时,y2（x1)459（当且仅当x＝1时取“＝”号）。x1----变式练习3：若对任意x＞0，x≤a恒成立，则a的取值范围为___。23xx1应用四：整体代换例6：已知x0

7、,y0，且211，则xy的最小值是______________。xy----3----变式练习1：已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则11的最小值为________。xy变式练习2：已知x0,y0，且212，则xy的最小值是______________。xy变式练习3：若函数f(x)＝ax2－2(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0，其中m、n均大于0，则12的最小值为_____________。mn变式练习4：设x＞0，y＞0且x＋2y－2xy＝0，若x＋2y－m≥0恒成立，则实数m的取值范围是___________

8、___。【解析】：x＋2y－2xy＝0，1＋1＝1，则(x＋2y)(1＋1)≥4，故m≤42yx2yx变式练习5：{an}满足a2017