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时间:2020-05-11
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1、§3.4基本不等式第1课时授课类型:新授课【教学目标】1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式的证明过程;【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式的几何背景:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,
2、会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。2.讲授新课1.探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样,4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:。当直角三角形变为等腰直角三角形,即a
3、=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有。2.得到结论:一般的,如果3.思考证明:你能给出它的证明吗?证明:因为当所以,,即4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式特别的,如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b,可得,通常我们把上式写作:2)从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明:要证(1)只要证a+b(2)要证(2),只要证a+b-0(3)要证(3),只要证(-)(4)显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。3)理解基本不等式的几何意义探究:课本第110页的“探究”在右图中,
4、AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB即CD=.这个圆的半径为,显然,它大于或等于CD,即,其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,等号成立.因此:基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述:1.如果把看作是正数a、b的等差中项,看作是正数a、b的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中,我们称为a、b
5、的算术平均数,称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.[补充例题]例1已知x、y都是正数,求证:(1)≥2;(2)(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.分析:在运用定理:时,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形.解:∵x,y都是正数∴>0,>0,x2>0,y2>0,x3>0,y3>0(1)=2即≥2.(2)x+y≥2>0x2+y2≥2>0x3+y3≥2>0∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2·
6、2·2=8x3y3即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.3.随堂练习1.已知a、b、c都是正数,求证(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc分析:对于此类题目,选择定理:(a>0,b>0)灵活变形,可求得结果.解:∵a,b,c都是正数∴a+b≥2>0b+c≥2>0c+a≥2>0∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.4.课时小结本节课,我们学习了重要不等式a2+b2≥2ab;两正数a、b的算术平均数(),几何平均数()及它们的关系
7、(≥).它们成立的条件不同,前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题:ab≤,ab≤()2.5.评价设计课本第113页习题[A]组的第1题课题:§3.4基本不等式第2课时授课类型:新授课【教学目标】1.知识与技能:进一步掌握基本不等式;会应用此不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题2.过程与方法:通过两个例题的研究,进一步掌握基本不等式,并会用此定理求某些
8、函数的最大、最小值。3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点】基本不等式的应用【教学难点】利用基本不等式求最大值、最小值。【教学过程】1.课题导入1.重要不等式:如果2.基本不等式:如果a,b是正数,那么3.我们称的算术平均数,称的几何平均数.成立的条件是不同的:前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是正数。2.讲授新课例1(1)用篱笆围成一个面积为
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