2019_2020学年高中数学第一章推理与证明3反证法课后巩固提升北师大版.docx

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1、3反证法[A组　基础巩固]1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是(　　)A．无解　　　　　　　　　　B．两解C．至少两解D．无解或至少两解解析：解是唯一的否定应为“无解或至少两解”．答案：D2．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或x

2、①错，应为a≤b；②对；③错，应为“三角形的外心在三角形内或三角形的边上”；④错，应为三角形的内角中有2个或2个以上的钝角．答案：B3．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　)A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数解析：对“至少有一个”的否定应为“一个也没有”，故选B.答案：B4．若a，b，c是不全相等的正数，给出

3、下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b与a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3解析：因为a，b，c不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a≠c，b≠c，a≠b可以同时成立，所以③错，故选C.答案：C5．已知x＞0，y＞0，z＞0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数(　　)A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2解析：假设a，b，c都小于2，则a

4、＋b＋c＜6.而事实上a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，所以a，b，c中至少有一个不小于2.答案：C6．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为________．解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”，即a，b不全为0.答案：a，b不全为07．用反证法证明命题“若p1p2＝2(q1＋q2)，则关于x的方程x2＋p1x＋q1＝0与x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一个方程有实数根”时，应假设为____

5、____________．答案：两个方程都没有实数根8．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________________．解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”．答案：x＝a或x＝b9．求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°.解析：已知：∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角．求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个不小于60°.证明：假设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C都小于60°，即∠A<60，∠B<6

6、0°，∠C<60°，三式相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立．∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.10．求证：抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形．证明：如图，设抛物线方程为y2＝ax(a>0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)是抛物线上不同的四点，则有y＝axi，xi＝(i＝1,2,3,4)，于是kAB＝＝＝，同理kBC＝，kCD＝，kDA＝.假设四边形ABCD是平行四

7、边形，则kAB＝kCD，kBC＝kDA，从而得y1＝y3，y2＝y4，进而得x1＝x3，x2＝x4，于是点A，C重合，点B，D重合，这与假设A，B，C，D是抛物线上不同的四点相矛盾．故四边形ABCD不可能是平行四边形．[B组　能力提升]1．在数列11,111,1111，…中(　　)A．有完全平方数B．没有完全平方数C．有偶数D．没有3的倍数解析：显然没有偶数，有3的倍数，故C、D错误，假设有完全平方数，它必为奇数的平方，设11…1m个1＝(2n＋1)2(m，n为正整数)，则11…10(m－1)个1

8、＝4n(n＋1)，两边同除以2得，55…5(m－1)个5＝2n(n＋1)，此式左端为奇数，右端为偶数，矛盾．答案：B2．如果两个数之和为正数，则这两数________．解析：假设两个都为负数，则这两个数之和为负数与题设矛盾．两个数均为正数明显符合题意，若一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值，也符合题意．答案：至少有一个是正数3．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1为________三角形，△A2B2C2为________