2019_2020学年高中数学第三章推理与证明4反证法课后巩固提升北师大版.docx

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1、4反证法[A组　基础巩固]1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是(　　)A．无解　　　　　　　　　　B．两解C．至少两解D．无解或至少两解解析：解是唯一的否定应为“无解或至少两解”．答案：D2．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或x

2、应为“三角形的外心在三角形内或三角形的边上”；④错，应为三角形的内角中有2个或2个以上的钝角．答案：B3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是(　　)A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．答案：B4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整

3、除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．答案：B5．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.答案：A6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是

4、________________________________________________________________________.解析：“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角7．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”．答案：x＝a或x＝b8．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2

5、－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)>0”反设，所得命题为________________．解析：“至少存在”的反面为“不存在”．“不存在c，使f(c)>0”即“f(x)≤0恒成立”．答案：函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上恒有f(x)≤0.9．求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°.证明：已知：∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角．求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个不小于60°.证明：假设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C都小于60°，即∠A<60，∠B<60

6、°，∠C<60°，三式相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.这与三角形内角和定理矛盾，∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立．∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.10．求证：抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形．证明：如图，设抛物线方程为y2＝ax(a>0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)是抛物线上不同的四点，则有y＝axi，xi＝(i＝1,2,3,4)，于是kAB＝＝＝，同理kBC＝，kCD＝，kDA＝.假设四边形ABCD是平行四边形，则kAB＝kCD，kBC＝

7、kDA，从而得y1＝y3，y2＝y4，进而得x1＝x3，x2＝x4，于是点A，C重合，点B，D重合，这与假设A，B，C，D是抛物线上不同的四点相矛盾．故四边形ABCD不可能是平行四边形．[B组　能力提升]1．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(　　)A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形解析：易知△A1B1C1

8、的三个内角的余弦值均大于0，故△A1B1C1为锐角三角形，设△A2B2C2也为锐角三角形，由得那么∠A2＋∠B2＋∠C2＝，这与三角形内角和为180°矛盾，所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形．答案：D2．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题：①若a