2019_2020学年高中数学第一章推理与证明4数学归纳法课后巩固提升北师大版.docx

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1、4数学归纳法[A组　基础巩固]1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式(　　)A．1＋<2B．1＋＋<2C．1＋＋<3D．1＋＋＋<3解析：∵n∈N＋，n>1，∴n取第一个正整数为2，左端分母最大的项为＝.答案：B2．证明<1＋＋＋＋…＋1)，当n＝2时，中间式等于(　　)A．1　　　　　　　　　　　　B．1＋C．1＋＋D．1＋＋＋解析：中间式中的表示中间式的最后一项，前面的保留，所以n＝1时，中间式为1＋，n＝2时，中间式为1＋＋＋.答案：D3．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋

2、1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，则a，b的值应该等于(　　)A．a＝1，b＝3B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝2D．a＝2，b＝3解析：当n＝1时，原式可化为ab＋a＋b＝11；①当n＝2时，原式可化为ab＋2(a＋b)＝16.②由①②可得a＋b＝5，ab＝6，验证可知只有选项D适合．答案：D4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为(　　)A．增加B．增加＋C．增加＋，减少D．增加，减少解析：当n＝k时，不等式的左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式的左边＝

3、＋＋…＋，又＋＋…＋－(＋＋…＋)＝＋－，所以由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加＋，减少.答案：C5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以，当n＝k＋1时等式成立．由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立．上述证明的错误是________．解析：当n＝k＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k

4、＝2k＋1－1，即一定用上第二步中的假设．答案：没有用上归纳假设进行递推6．n为正奇数，求证：xn＋yn能被x＋y整除，当第二步假设n＝k(k∈N＋)命题为真时，则需证n＝________时命题也为真．解析：n为正奇数，现在n＝k，说明k为正奇数，下一个正奇数应为k＋2.答案：k＋27．对于不等式

5、步中证明n＝k＋1时不等式成立时，未用归纳假设．答案：(2)8．用数学归纳法证明：2＋4＋6＋…＋2(n＋1)＝(n＋1)(n＋2)(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝2＋4＝6，右边＝2×3＝6，等式成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即2＋4＋6＋…＋2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，则当n＝k＋1时，左边＝2＋4＋6＋…＋2(k＋1)＋2(k＋2)＝(k＋1)(k＋2)＋2(k＋2)＝(k＋2)(k＋3)＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]．这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意的n∈N＋，等式都成立．9．

6、用数学归纳法证明：(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝n2(n2－1)(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝0，右边＝0，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k2(k2－1)成立．则当n＝k＋1时，[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝[(k2－12)＋(2k＋1)]＋2[(k2－22)＋(2k＋1)]＋…＋k[(k2－k2)＋(2k＋1)]＝[(k2－12)

7、＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)]＋(2k＋1)·(1＋2＋…＋k)＝k2(k2－1)＋(2k＋1)·k(k＋1)＝(k＋1)2[(k＋1)2－1]．所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知等式对一切n∈N＋都成立．[B组　能力提升]1．使不等式2n>n2＋1对任意n≥k的自然数n都成立的最小k值为(　　)A．2B．3C．4D．5解析：25＝32,52＋1＝26，对n≥5的所有自然数n,2n>n2＋1都成立．答案：D2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足“当f(k)≥k2成立时总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”

8、．那么下列命题总成立的是(　　)A．若f(3)≥9成立，则当k≥1，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥2