高等数学上册复习资料.doc

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1、.高等数学（上册）复习资料一：函数的两个要素：定义域对应法则1两个函数相同：（1）定义域相同（2）对应法则相同至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。例如：与是同一个函数。2函数的几种特性（1）有界性如果存在实数，使得，则称在上有上界如果存在实数，使得，则称在上有下界。有界：既有上界，又有下界。即存在实数，使得等价于存在，使得（2）单调性若对区间内任意两点，都有，则称在内单调增加（减少）。若将“”改成“”称为严格单调增加（减少）。（3）奇偶性设函数的定义域关于原点对称如果，则称为偶函数如果，则称为奇函数（4）周期

2、性若则称是以为周期的函数注：周期通常指的是它的最小正周期3复合函数设的定义域为，又的定义域为，且，则函数称为由函数和函数构成的复合函数。称为中间变量，记为：..4基本初等函数：（1）幂函数（2）指数函数（3）对数函数特例（4）三角函数等（5）反三角函数等5初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的并可以用一个式子表示的函数。例：两个式子，故不是初等函数6函数的极限当时，若无限地接近于某个确定的数，则称为当时的极限。记为重要结论：的几何意义：一、是他的水平渐近线例如：二、而，则说明它有两条

3、渐近线。例如：两条渐近线。当时，如果无限地接近于某一确定的常数，则称为当时的极限。记为：注：（1）在处的极限存在与否与在处有无定义没有关系。因为定义中没有要求，只是（2）趋近于的方式是任意的。（即可以从左边，也可以从右边）左极限：当从左边趋近于（记为：）时，，则称为当时的左极限。记为：或。..右极限：即左右极限存在且相等若：，则不存在7无穷小量定义：以为极限的变量称为无穷小（量）定义：当（或）时，对应的函数值的绝对值无限增大注意无穷大是一种特殊的无界变量，但无界变量不一定是无穷大无穷大的几何意义：，直线是函数图形的

4、铅直渐近线（回忆水平渐近线定理二：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。无穷小的性质：定理三：有限个无穷小的和仍是无穷小定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论：（1）有极限的量与无穷小的量的乘积是无穷小。（有极限有界）（2）常数与无穷小量的乘积是无穷小（3）有限个无穷小量的乘积也是无穷小8无穷小的比较定义：设都是无穷小(1)若，则称是比高阶的无穷小，记为：(2)若，则称是比低阶的无穷小(3)若，则称与是同阶无穷小(4)若，则称与是等价无穷小，记为：最重要是等价无

5、穷小，关于等价无穷小，我们要记住以下结论当时，，，..，，，，注意其引申即上面的无穷小可换成其他无穷小定理一：设，，且存在，则9函数的连续性定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果，则称在点处连续。强调：包含；记：，则相当于相当于由此，我们得到连续的另一个等价定义定义2：设在点的某一邻域内有定义，如果，则称在点处连续。即：在处的极限等于它在该点的函数值与左、右极限相对应，也有左、右连续的概念若，即，则称在点处左连续若，即，则称在点处右连续在点处连续左右都连续即若函数在点处不连续，则称在点处间断。称为..的间断点。（

6、1）可去间断点极限存在，但在点处无定义或在点处有定义，但。则称为的可去间断点。（2）跳跃间断点若与存在，但可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点。第一类间断点的特点是左右极限都存在。第一类间断点以外的间断点称为第二类间断点。特点：是至少有一个单侧极限不存在。常见的有无穷间断点。特点：至少有一个单侧极限为无穷大。一切初等函数在其定义区间内是连续的10函数的导数定义：设函数在点处的某个邻域内有定义，给以增量（仍然在该邻域内），若存在。则称在处可导。并称这个极限值为在处的导数。记为：，，即关于导数的几点说明：（1）导数

7、反映因变量关于自变量的变化率，即反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。（2）令，当时等价定义或（1）若定义中极限不存在，则称在处不可导。在不可导中有一个特殊情形。当，则称在处的导数为无穷大。（2）如果函数在开区间内的每一点处都可导，就称函数在开区间内可导。..（1）对于任一个，都对应着的一个确定的导数值，。这个函数叫做原来函数的导函数。记作：或即或注：（1）导函数简称为导数（2）（6）单侧导数1、左导数2、右导数存在（7）如果在开区间内可导，且都存在，就说在闭区间上可导。函数在点处的导数的几何意义就是曲线在对

8、应点处的切线的斜率。于是：曲线在点处的切线方程可写成：（1）存在，则切线方程：法线方程：（2）若切线方程：..法线方程：定理：若在处可导。则在处必连续连续但不可导的例子：在处所以连续，但不可导注：若不连续，则一定不可导11函数的微分定义：设函数在某区间内有定义，在处给自变量以增量，如果相应的函数的增量总能表示为：，其中与无关，是的高阶无穷小。则称函数在点处可