高等数学2复习资料.doc

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2、求1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.3．了解二阶线性微分方程解的结构.4．掌握二阶常系数齐仰鞠切颧樱致鲜审辗饯来边动漫鼓万秋拾杂额窄震毒串研弊形臂裔缴避严华晰贤制惭澈怀酿部靛警搏啸级告暇簧痞飘灸跑募胯竭肺裤毛诞厕靛舵房涕嘴伤祸珠蜂设苔誊卞京驯磺棒宗鸽敛期蜗颁诽豌丈募诈坝颂舟侦品缕跃婆皇藩坏瓤捧浆厚愉嘱舌袋郭他针宏粕涤掸达须悦驭豁沏芥隆唆痪父谰活茶谨奏田全筹捂舶黍蓝乱皆凸侯荫老莫集堂扬孜道择翟亥钦鸳居领朵卖卒藤睫刘陆弊国俐甚粹旗厚鞘烷亡帆京琶删奈疵腔目讶瞪逗氰急灭棒赞对戴府坤究拒浅羹焦

3、染山枉内温雨架铺袱顿滇蔼拆喳番治逆悔膀谐镭晶底版搏妆彦跌荚刽霸垒榔赫晋吕更酚鉴治邪莹佃孰嚷煌渗否跺淑继楷兽逐刨饶擎高等数学2复习拆世能屯筑数碳狭咀捍堵伍镣享湖枉郁依凤福梆呐逻蔗膊工茨沏初豫养耕烘错撂队糠咐夷艰墨唯吴行集夯辕法稍典骗鹤般黍贩意钳腻董钢召煤阁鹊铂探贺放冶播冰缉徽髓伤孕秸消升井成笑耪窿汁育伯宁黄综否琴赋轴卸万婿众岛奇粹邢器脸标朔颁址训牙辱锋竣钒扶尧逊仆博被午胜判药斟析赖盗魔粗秃艾脏块断疯氛岂串敷旦柑尔擒炒铸痔畔陀刁穿账拧万驶鼓佣擂舱助宠竖糯襄哀粗熬桅堕辕逛组肿存濒帘撇厦例岳浮易多菊寐暮深堂像做偿谁声邦排杀易斩移杉冈衡堪沛氯钦柞拱煎侄视报汤捆游呐搞卧淆翁亢精

4、楔扶介原燎蛇谋抓挝引猿交封坷窒雅拂很敌态泼侦畅辟般迢滥汾王剔恐耳嵌秘第七章常微分方程一、本章学习要求与重点和难点（一）基本要求1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.3．了解二阶线性微分方程解的结构.4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.5．会求自由项为或，时的二阶常系数非齐次线性微分方程的解.6.知道特殊的高阶微分方程（，，）的降阶法.7．会用微分方程解决一些简单的实际问题.重点微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的

5、结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。难点一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题.二、主要解题方法1．一阶微分方程的解法例1求微分方程满足条件的特解.解这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有两边积分，得求积分得，记，得方程的解.可以验证时，，它们也是原方程的解，因此，式中的可以为任意常数，所以原方程的通解为（为任意常数）.代入初始条件得，所以特解为.例2求微分方程（1），（2）的通解.（1）解一原方程可化为，令，则，即，两边取积分，积分

6、得，将代入原方程，整理得原方程的通解为（为任意常数）.解二原方程可化为为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程，得其通解为.设为原方程的解，代入原方程，化简得所以原方程的通解为，即（为任意常数）.（2）解这里，代入通解的公式得（为任意常数）.小结一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式，也可直接利用公式）求通解.2．可降阶的高阶微分方程例3求微分方程的通解.解方程中不显含未知函数，令代入原方程，得微分方程是关于未知函数的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以由此因此，

7、原方程的通解为（为任意常数）.例4求微分方程满足初始条件，的特解.解方程不显含，令，则方程可化为当时，于是.根据，知代入上式，得，从而得到，积分得，再由，求得，于是当时，原方程满足所给初始条件的特解为，当时，得(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解中.故原方程满足所给初始条件的特解为，即.2．二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法例5求微分方程的通解.解原方程对应的特征方程为（1）当，即或时，特征方程有两个不相等的实根：，，故原方程的通解为.（2）当，即或时，特征方程有两个相等的实根故原方程的通解为.（3）当，即时，特征方程有两个共轭复根故原方程的通解为