2020版高考数学一轮复习课后限时集训30等比数列及其前n项和理新人教版.docx

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1、课后限时集训(三十)　等比数列及其前n项和(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　)A．－6(1－3－10)　　B.(1－3－10)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)C　[∵3an＋1＋an＝0，∴＝－，∴数列{an}是以－为公比的等比数列，∵a2＝－，∴a1＝4.由等比数列的求和公式可得，S10＝＝3(1－3－10)．故选C.]2．(2019·湘潭模拟)已知等比数列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为(　　)A．

2、3　　B．5　　C．9　　D．25D　[设等比数列{an}的公比为q，则a4a7＝·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，＝＝q2＝25.故选D.]3．(2019·太原模拟)已知等比数列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，则a1＝(　　)A.B．－C．－D．－B　[设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，因为S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋3a1，所以＝q2＝2.因为a2a5a8＝a＝－8，所以a5＝－2，即a1q4＝－2，所以4a1＝－2，所以a1＝－，故选B.]4．已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{

3、bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，则

4、b1

5、＋

6、b2

7、＋

8、b3

9、＋…＋

10、bn

11、＝(　　)A．1－4nB．4n－1C.D.B　[由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，∴bn＝(－3)×(－4)n－1，∴

12、bn

13、＝3×4n－1，即

14、bn

15、是以3为首项，4为公比的等比数列．∴

16、b1

17、＋

18、b2

19、＋…＋

20、bn

21、＝＝4n－1.]5．(数学文化题)《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半；莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日

22、增加一倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间约为(　　)参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，结果精确到0.1A．2.2天B．2.4天C．2.6天D．2.8天C　[设蒲每天的长度构成等比数列{an}，其首项a1＝3，公比为，其前n项和为An.设莞每天的长度构成等比数列{bn}，其首项b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.则An＝，Bn＝.设蒲、莞长度相等时所需时间约为x天，则＝，化简得2x＋＝7，计算得出2x＝6,2x＝1(舍去)．所以x＝＝1＋≈2.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等．故选C.]二、填空题6．(20

23、19·湖南十校联考)若等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝5，则＝________.17　[法一：设数列{an}的公比为q，由已知得＝1＋＝5，即1＋q2＝5，所以q2＝4，＝1＋＝1＋q4＝1＋16＝17.法二：由等比数列的性质可知，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，若设S2＝a，则S4＝5a，由(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)得S6＝21a，同理得S8＝85a，所以＝＝17.]7．在14与之间插入n个数组成等比数列，若各项之和为，则此数列的项数为________．5　[设此等比数列为{am}，公比

24、为q，则该数列共有n＋2项．∵14≠，∴q≠1.由等比数列的前n项和公式，得＝，解得q＝－，∴an＋2＝14×n＋2－1＝，即n＋1＝，解得n＝3，∴该数列共有5项．]8．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.14　[设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14.]三、解答题9．(2

25、018·陕西二模)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.[解]　(1)证明：当n＝1时，由Sn－2an＝n－4，得a1＝3.∴S1－1＋2＝4.当n≥2时，Sn－2an＝n－4可化为Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－4.即Sn＝2Sn－1－n＋4，∴Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]．∴{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，Sn－n＋2＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1＋n－2.∴Tn＝(22＋23

26、＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝＋－2n＝2n＋2＋－4.10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an，若不存在，请说明理