北师大版2020版新一线高考文科数学一轮复习课后限时集训30等比数列及其前n项和含解析

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1、课后限时集训(三十) (建议用时:60分钟)A组 基础达标一、选择题1.(2019·成都模拟)在等比数列{an}中,已知a3=6,a3+a5+a7=78,则a5=(  )A.12   B.18   C.36   D.24B [由题意知,a5+a7=72,即6q2+6q4=72,解得q2=3,所以a5=a3q2=6×3=18,故选B.]2.已知{an},{bn}都是等比数列,那么(  )A.{an+bn},{an·bn}都一定是等比数列B.{an+bn}一定是等比数列,但{an·bn}不一定是等比数列C.{an+bn}不一定是等比数列,但{an·bn}一定是等比

2、数列D.{an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列C [两个等比数列的和不一定是等比数列,但两个等比数列的积一定是等比数列,故选C.]3.(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(  )A.-24B.-3C.3D.8A [由已知条件可得a1=1,d≠0,由a=a2a6可得(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2.所以S6=6×1+=-24.故选A.]4.(2019·洛阳模拟)在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,则的值为(  )A.-B.-C.

3、D.-或B [∵{an}为等比数列,∴a2·a16=a3·a15=a,由题意得∴a=2,由上式可知,a3<0,a15<0;则a9<0,∴=a9=-.]5.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(  )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏B [设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯数为S7,公比为q,则由题意知S7=381,q=2,∴S7===381,解得a1=3.故选B.]二、填

4、空题6.(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=________.1 [设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则由a4=a1+3d,得d===3,由b4=b1q3得q3===-8,∴q=-2.∴===1.]7.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和Sn=________.2n-1 [设等比数列的公比为q,则有解得或又{an}为递增数列,所以所以Sn==2n-1.]8.(2019·惠州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1

5、+2S2=3S3,则{an}的公比等于________.- [由S1+2S2=3S3得a1+2(a1+a2)=3(a1+a2+a3),所以3a3=-a2,即=-.]三、解答题9.(2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和.[解] (1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.所以数列{an)是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)知anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=,

6、因此{bn}是首项为1,公比为的等比数列.记{bn}的前n项和为Sn,则Sn==-.10.(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.[解] (1)设{an}的公比为q.由题设可得解得q=-2,a1=-2.故{an}的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn==-+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.B组 能力提升1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3

7、,则=(  )A.2B.C.D.3B [法一:由等比数列的性质及题意,得S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,由已知得S6=3S3,∴=,即S9-S6=4S3,S9=7S3,∴=.法二:=1+=1+q3=3,所以q3=2.则===.]2.在递增的等比数列{an}中,已知a1+an=34,a3·an-2=64,且前n项和Sn=42,则n等于(  )A.3B.4C.5D.6A [因为{an}为等比数列,所以a3·an-2=a1·an=64.又a1+an=34.所以a1,an是方程x2-34x+64=0的两根,解得或又因为{an}是递增数列,所以由Sn===42

8、,解得q=4.由an=a1qn-1=2

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