高考数学课后限时集训30等比数列及其前n项和（含解析）理

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1、课后限时集训(三十)(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．(2019·成都模拟)在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝()A．12B．18　C．36　D．24B　[由题意知，a5＋a7＝72，即6q2＋6q4＝72，解得q2＝3，所以a5＝a3q2＝6×3＝18，故选B.]2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么()A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列D．

2、{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列C　[两个等比数列的和不一定是等比数列，但两个等比数列的积一定是等比数列，故选C.]3．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8A　[由已知条件可得a1＝1，d≠0，由a＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2.所以S6＝6×1＋＝－24.故选A.]4．(2019·洛阳模拟)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为()A．－B．－C.

3、D．－或B　[∵{an}为等比数列，∴a2·a16＝a3·a15＝a，由题意得∴a＝2，由上式可知，a3＜0，a15＜0；则a9＜0，∴＝a9＝－.]5．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.故选

4、B.]二、填空题6．(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.1　[设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则由a4＝a1＋3d，得d＝＝＝3，由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，∴q＝－2.∴＝＝＝1.]7．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝________.2n－1　[设等比数列的公比为q，则有解得或又{an}为递增数列，所以所以Sn＝＝2n－1.]8．(2019·惠州模拟)已知等比数列{a

5、n}的前n项和为Sn，若S1＋2S2＝3S3，则{an}的公比等于________．－　[由S1＋2S2＝3S3得a1＋2(a1＋a2)＝3(a1＋a2＋a3)，所以3a3＝－a2，即＝－.]三、解答题9．(2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．[解]　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以数列{an)是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知a

6、nbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.10．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．[解]　(1)设{an}的公比为q.由题设可得解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．

7、B组　能力提升1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝()A．2B.C.D．3B　[法一：由等比数列的性质及题意，得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，∴＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝.法二：＝1＋＝1＋q3＝3，所以q3＝2.则＝＝＝.]2．在递增的等比数列{an}中，已知a1＋an＝34，a3·an－2＝64，且前n项和Sn＝42，则n等于()A．3B．4C．5D．6A　[因为{an}为等比数列，所以a3·an－2＝a1·an＝64.又a1＋an＝34.所以a1，an是方程x2－34x＋

8、64＝0的两根，解得或又因为{an}是递增数列，所以由Sn＝＝＝42，解得q＝4.由an＝a1qn－1＝2×4n－1＝32，解得n＝3.故选A.]3．