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时间:2019-12-03
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1、分式的意义和性质 一、分式的概念 1、用A、B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式,其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母,如果除式B中含有字母,式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。 2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式,那么,在分式里分母所包含的字母,就不一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值,但分母B不能为零,因为用零做除数没有意义。一般地说,在一个分式里,分子中的字母可取任意数值,但分母中的字母,只能取不使分母等于零的值。 3.(1)分式:,当B=0时,分式无意义。 (2)分式:,当B≠0时,分式有意义。
2、(3)分式:,当时,分式的值为零。 (4)分式:,当时,分式的值为1。 (5)分式:,当时,即或时,为正数。 (6)分式:,当时,即或时,为负数。 (7)分式:,当时或时,为非负数。 三、分式的基本性质: 1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式,这个整式可以是数也可以是字母,只要是不为零的整式。 2、这个性质可用式子表示为:(M为不等于零的整式) 3、学习基本性质应注意几点: (1)分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零; (2)易犯错误是只乘(或只除)分母或只乘(或只除)分子;
3、 (3)如果分子或分母是多项式时,必须乘以多项式的每一项。 4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。 5、分式的分子,分母和分式的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,如下列式子: ,。 四、约分: 1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母,使分式化简为最简分式,最简分式又叫既约分式。 2、约分的理论依据是分式的基本性质。 3、约分的方法: (1)如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式,就约去分子和分母中相同因式的最低次幂,当分子和分母的系数是整数时,还要约去它们的最大公约数。 例1,请说出下
4、列各式中哪些是整式,那些是分式?(1)(2)(3)(4)(5)a2-a(6)。 解:根据分式定义知(1)、(2)、(3)是分式,(4)、(5)、(6)是整式。 说明:判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。这里是分式,不能因为==a+b,而认为是整式,a+b是分式的值。要区分分式的值和分式这两个不同的概念。另外是整式而不是分式。虽然分母中有π,但π不是字母而是无理数,是无限不循环小数,因此的除式中不含字母。 例2,在分式(1)(2)(3)中,字母x的值有什么限制? 解:(1)在中,当x=2时,使得分母x-2=0,∴x≠2, (2)在
5、中,当x=-2时,使得分母x+2=0,∴x≠-2, (3)在中,当x=-2或x=3时,使得分母(x+2)(x-3)=0, ∴x≠-2且x≠3。 例3,x为何值时,分式,(1)无意义;(2)值为零;(3)值为1;(4)值为非负数。 解:(1)∵当分母2x+3=0时分式无意义,∴x=-时,分式无意义。 (2)∵当时,分式值为零。∴,∴x=1时分式值为零。 (3)∵当时,分式值为1,∴x=-4时分式值为1。 (4)∵当或时,分式值为非负数。 ∴或∴x≥1或x<-时分式值为非负数。 例4,当x取何值时,分式(1)值为零;(2)无意义;(3
6、)有意义。 解:(1)∵当(x+3)(x-1)≠0时,分式有意义,∴当x≠-3且x≠1时分式有意义。 又∵6-2
7、x
8、=0时分式值为零,则3-
9、x
10、=0,∴
11、x
12、=3,∴x=±3。 ∴,∴x=3时分式值为零。 (2)∵(x+3)(x-1)=0分式无意义, 即x+3=0或x-1=0,∴x=-3或x=1时分式无意义。 说明:对于(1)也可先令分子为零,求出字母的所有可能值为x=±3后,再逐一代入分母验证是否为零,不为零者即为所求。 对于(2)当x+3=0或x-1=0时,都会使分式的分母等于零,所以要注意“或”字的使用。 解:(3)∵(x+3
13、)(x-1)≠0时分式有意义。 即x+3≠0且x-1≠0时,∴x≠-3且x≠1时分式有意义, 说明:对于(3)分母(x+3)(x-1)只有不为零时,分式有意义,而(x+3)(x-1)≠0,当x+3=0或x-1=0都会使(x+3)(x-1)=0,所以应将x=-3和x=1都同时排除掉,写成x≠-3且x≠1,用“且”字,而不用“或”字。意义为x不能为-3而且还不能为1,即-3和1都不能取。因为取任何其中一个值,分母(x+3)(x-1)都会为0,而使分式都会无意义。 例5,写出等式中未知的分子或分母: (1);(2);(3); (1)分析:这类问题要从
14、已知条件入手,根据分式的基本性质,分析变化的过程,如(1)右边分母x2-y2是(
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