【大师特稿】2018届高考数学（理）热点题型：解析几何（含答案）

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1、解析几何热点一　圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率，准线，双曲线的渐近线是常考题型.【例1】(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D.x2－＝1(2)若点M(2，1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则

2、AM

3、＋

4、AC

5、的最小值为________.(3)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与抛物线y2＝2px(p＞0)有相同的

6、焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若直线PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为________.答案　(1)D　(2)8－　(3)－1解析　(1)双曲线－＝1的一个焦点为F(2，0)，则a2＋b2＝4，①双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意得＝，②联立①②解得b＝，a＝1，所求双曲线的方程为x2－＝1，选D.(2)设点B为椭圆的左焦点，点M(2，1)在椭圆内，那么

7、BM

8、＋

9、AM

10、＋

11、AC

12、≥

13、AB

14、＋

15、AC

16、＝2a，所以

17、AM

18、＋

19、AC

20、≥2a－

21、BM

22、，而a＝4，

23、BM

24、＝＝，所以(

25、AM

26、＋

27、AC

28、)最小＝8－.

29、(3)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.如图所示，将x＝代入抛物线方程得y＝±p，又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF.所以

30、PE

31、＝＝p，

32、PF

33、＝p，

34、EF

35、＝p.故2a＝p＋p，2c＝p，e＝＝－1.【类题通法】(1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦点的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，也可以结合三角形的知识，求出曲线上的点到两个焦点的距离.在抛物线中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去

36、解决有关的最值问题.(2)求解与圆锥曲线的几何性质有关的问题关键是建立圆锥曲线方程中各个系数之间的关系，或者求出圆锥曲线方程中的各个系数，再根据圆锥曲线的几何性质通过代数方法进行计算得出结果.【对点训练】已知椭圆＋＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，以下结论：①△ABF2的周长为8；②原点到l的距离为1；③

37、AB

38、＝.其中正确结论的个数为(　　)A.3B.2C.1D.0答案　A解析　①由椭圆的定义，得

39、AF1

40、＋

41、AF2

42、＝4，

43、BF1

44、＋

45、BF2

46、＝4，又

47、AF1

48、＋

49、BF1

50、＝

51、AB

52、

53、，所以△ABF2的周长为

54、AB

55、＋

56、AF2

57、＋

58、BF2

59、＝8，故①正确；②由条件，得F1(－，0)，因为过F1且倾斜角为45°的直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y＝x＋，则原点到l的距离d＝＝1，故②正确；③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以

60、AB

61、＝·

62、x1－x2

63、＝，故③正确.故选A.热点二　圆锥曲线中的定点，定值问题定点，定值问题一般涉及曲线过定点，与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长，面积，横(纵)坐标等的定值问题.【例2】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞

64、0)的离心率为，点(2，)在C上.(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.(1)解　由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为＋＝1.(2)证明　设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).将y＝kx＋b代入＋＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.所以直线OM的斜

65、率与直线l的斜率的乘积为定值.【类题通法】解答圆锥曲线中的定点，定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点，定值.第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论.第三步：下结论，综合上面两种情况定结论.【对点训练】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点.(1)解　因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，所以p＝2

66、.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明　①当直线AB的斜率不存在时，设A，B.因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，化简得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.②当直线A