高考热点题型《解析几何》

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1、高考热点题型《解析几何》高考三年来风格特点（1）表现形式上是多曲线综合；（2）圆锥曲线重在定义、标准方程和几何性质；（3）核心是直线和圆的位置关系；（4）方法上强调：数形结合的思想方法、方程思想、待定系数法；（5）能力上要求：图形探究能力、逆向探究能力、运算求解能力、阅读理解能力.参考题目：1.设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.（1）求点的轨迹方程；（2）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线……

2、…………………………2分　　　　∵∴　∴　曲线方程是………4分（2）解法1：过点M作ｘ轴的垂线，垂足为D,则点D平分EG,设圆心为，则,,　即当运动时，弦长为定值4.解法2：设圆的圆心为，∵圆过，∴圆的方程为　　………7分令得：　　设圆与轴的两交点分别为，方法1：不妨设，由求根公式得-6-，…………………………10分∴又∵点在抛物线上，∴，∴　，即＝4--------------------------------13分∴当运动时，弦长为定值4…………………………………………………14分　〔方法2：∵，　∴　又∵点在抛物线上，∴，∴　　∴当运动时，弦

3、长为定值4〕2．已知双曲线与椭圆有公共焦点，点是它们的一个公共点.（1）求的方程；（2）过点且互相垂直的直线与圆分别相交于点和，求的最大值，并求此时直线的方程.解：（1）点是双曲线上的点，.∴双曲线，从而，∴，且.①又点在椭圆上，则②由①②得，所以椭圆的方程为.（2）设圆的圆心为，、被圆所截得弦的中点分别为，弦长分别为，因为四边形是矩形，所以,即，化简得从而，等号成立，时，，即、被圆所截得弦长之和的最大值为.3．如图，F是椭圆的右焦点，以F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆的动点，P到两焦点距离之和等于4.-6-（Ⅰ）求椭圆和圆的标准方程；

4、（Ⅱ）设直线的方程为，垂足为M，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）由已知可得∴椭圆的标准方程为，圆的标准方程为（Ⅱ）设，则∵在椭圆上∴＝∴（1）若则这与三角形两边之和大于第三边矛盾∴（2）若,则，解得或∵∴∴∴综上可得存在两点，使得△PFM为等腰三角形.4.已知动圆过定点，且与定直线相切.（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；（II）若、是轨迹C上的两不同动点，且.分别以、为切点作轨迹C的切线，设其交点Q，证明为定值.解：（I）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线上……2分因为抛物线焦点到准线距离

5、等于4所以圆心的轨迹是-6-（II）解法一：由已知，故将（1）式两边平方并把（3）解（2）、（3）式得，且有…………8分抛物线方程为所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是……11分所以为定值，其值为0.…………13分解法二：由已知N（0，2），…………8分后面解法和解法一相同5．已知圆：交轴于两点，曲线是以为长轴，直线：为准线的椭圆．（1）求椭圆的标准方程；-6-（2）若是直线上的任意一点，以为直径的圆与圆相交于两点，求证：直线必过定点，并求出点的坐标；（3）如图所示，若直线与椭圆交于两点，且，试求此时弦的长．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，则：，从

6、而：，故,所以椭圆的标准方程为（Ⅱ）设，则圆方程为与圆联立消去得的方程为，过定点。（Ⅲ）解法一：设，则,………①，，即：代入①解得：（舍去正值），，所以，从而圆心到直线的距离，从而。解法二：过点分别作直线的垂线，垂足分别为，设的倾斜角为，则：，从而，由得：，，故，由此直线的方程为，以下同解法一。-6-解法三：将与椭圆方程联立成方程组消去得：,设，则。，，所以代入韦达定理得：，消去得：，，由图得：，所以，以下同解法一.-6-