2019高考数学 热点题型 专题03 解析几何 理

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1、解析几何热点一　圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.题型一　利用几何性质求最值【例1】设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则

2、PM

3、

4、＋

5、PN

6、的最小值、最大值分别为(　　)A．9，12B．8，11C．8，12D．10，12答案C【类题通法】利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法．【对点训练】如图所示，已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，O为坐标原点，＋＝(－4，－12)．(1)求直线l和抛物线C的方程；(2)抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．解析(1)由得x2＋2pkx－4p＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2

7、pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.因为＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以解得所以直线l的方程为y＝2x－2，抛物线C的方程为x2＝－2y.(2)设P(x0，y0)，依题意，知抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大，又y′＝－x，所以－x0＝2，故x0＝－2，y0＝－x＝－2，所以P(－2，－2)．此时点P到直线l的距离d＝＝＝.由得x2＋4x－4＝0，故x1＋x2＝－4，x1x2＝－4，所以

8、AB

9、＝×＝×＝4.所以△AB

10、P面积的最大值为＝8.题型二　建立目标函数求最值【例2】已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，＝3.(1)若

11、PF

12、＝3，求点M的坐标；(2)求△ABP面积的最大值．(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由得x2－4kx－4m＝0.于是Δ＝16k2＋16m>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以AB中点M的坐标为(2k,2k2＋m)．由＝3，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)，

13、所以由x＝4y0得k2＝－m＋，由Δ>0，k2≥0，得－f＝.所以当m＝时，f(m)取到最大值，此时k＝±.所以△ABP面积的最大值为.【类题通法】(1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来求解．(2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、单

14、调性法、三角换元法等．【对点训练】平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点．过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.①求的值；②求△ABQ面积的最大值．解析(1)由题意知2a＝4，则a＝2.又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.②设A(x1，y1

15、)，B(x2,y2)．将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ>0，可得m2<4＋16k2.(*)则有x1＋x2＝－，x1x2＝.所以

16、x1－x2

17、＝.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S＝

18、m

19、

20、x1－x2

21、＝＝＝2设＝t.将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(**)由(*)(**)可知0

22、2＝1＋4k2时取得最大值2.由①知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6.题型三　利用基本不等式求最值【例3】已知椭圆M：＋＝1(a>0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A，B.经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．(1)当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求

23、S1－S2

24、的最大值．(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC