2019高考数学 热点题型 专题02 函数与导数 理

《2019高考数学 热点题型 专题02 函数与导数 理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、函数与导数热点一　利用导数研究函数的性质以含参数的函数为载体，结合具体函数与导数的几何意义，研究函数的性质，是高考的热点、重点.本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围.【例1】设函数f(x)＝(1－x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求正实数a的取值范围.(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)ex，h′(x)＝－xex<0

2、(x>0)，因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，又h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.当00(x>0)，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增.又g(0)＝0，故ex≥x＋1.当0

3、x0)>ax0＋1.综上可知，正实数a的取值范围是[1，＋∞).【类题通法】(1)判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)>0或f′(x)<0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题.(2)若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.【对点训练】设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1，4]上的最小

4、值为－，求f(x)在该区间上的最大值.(2)已知0＜a＜2，f(x)在[1，4]上取到最小值－，而f′(x)＝－x2＋x＋2a的图象开口向下，且对称轴x＝，∴f′(1)＝－1＋1＋2a＝2a＞0，f′(4)＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0，则必有一点x0∈[1，4]，使得f′(x0)＝0，此时函数f(x)在[1，x0]上单调递增，在[x0，4]上单调递减，f(1)＝－＋＋2a＝＋2a＞0，∴f(4)＝－×64＋×16＋8a＝－＋8a＝－⇒a＝1.此时，由f′(x0)＝－x＋x0＋2＝0⇒x0＝2或－

5、1(舍去)，所以函数f(x)max＝f(2)＝.热点二　利用导数解决不等式问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题.归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)求解不等式；(3)不等式恒(能)成立求参数.【例2】(满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.教材探源　本题第(2)问的实质是证明ln＋＋1≤0，是不等式x－1≥lnx的变形，源于教材选修2－2P3

6、2习题B1，是在教材基本框架ex>1＋x与x≥1＋lnx基础上，结合函数性质，编制的优美试题.满分解答　(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.1分　(得分点1)若a≥0时，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，2分　(得分点2)若a<0时，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减.5分　(得分点3)10分　(得分点5)所以当x>0时，g(x)≤0，从而当a<0时，ln＋＋1≤0

7、，故f(x)≤－－2.12分　(得分点6)得分要点❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分，如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第(2)问中利用单调性求g(x)的最小值和不等式性质的运用.❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f(x)的定义域，f′(x)在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问，f(x)在x＝－处最值的判定，f(x)≤－－2等价转化为ln＋＋1≤0等.❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导f′(x)准确，

8、否则全盘皆输，第(2)问中，准确计算f(x)在x＝－处的最大值.【类题通法】利用导数研究函数问题的步骤第一步：求函数f(x)的导函数f′(x)；第二步：分类讨论f(x)的单调性；第三步：利用单调性，求f(x)的最大值；第四步：根据要证的不等式的结构特点，构造函数g(x)；第五步：求g(x)的最大值，得出要证的不等式；第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范.【对点训练】设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明当x∈