资源描述：
《2018届高考数学（理）热点题型：函数与导数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、函数与导数热点一利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题Z-,每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【例1】已知函数.f(x)=x+a(—x).⑴讨论/(x)的单调性；⑵当/(X)有最大值，且最大值大于2q—2时，求实数a的取值范围.解(l)/(x)的定义域为(0,+®),.厂⑴=占一久✓V若aWO,则/(x)>0,所以几丫)在(0,+8)上单调递增.若Q0,则当用(0,弓时，•厂(x)>0；当用0,+oo)时,f/(x)<0,所以兀¥)在(o,
2、刁上单调递增，在(+，+°°)上单调递减.综上，知当aWO时，用)在(0,+8)上单调递增;当q>0时，/(X)在(0,上单调递增，在g,+°°)上单调递减.⑵由⑴知，当qWO时，./⑴在(0,+®)上无最大值；当a>0时，.心)在兀=占处取得最大值，最大值为彳f)=ln++a(l—弓=—lnc/+d—1.因此4+)>2Q—2等价于*ci+a-l<0.令g(Q)=lna+d—1,则g(d)在(0,+8)上单调递增，g(l)=0.于是，当OVgVI时，g(a)<0；当°>1吋，g(Q)>0.因此，实数Q的取值范围是(0,1).【类题通法】(1)研究函数的性质
3、通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解岀的超越型不等式时，如求解/na+a-KO,则需要构造函数来解.【对点训练】己知aWR,函数f{x)=(-x2+ax)ex(x^Rfe为自然对数的底数).(1)当q=2U寸，求函数沧)的单调递增区间；⑵若函数/(x)在(一1,1)上单调递增，求实数q的取值范围.
4、解(1)当a=2时，./(x)=(-x2+2x)cx,所以/(X)=(—2x+2)ex+(—x2+2x)ex=(—x2+2)e令/(x)>0,BP(-x2+2)ex>0,因为宀0,所以一x2+2>0,解得一迈所以函数.沧)的单调递增区间是(一迈，迈).(2)因为函数/(X)在(-1,1)上单调递增，所以/(对20对xG(-l,1)都成立，因为/(X)=(—2x+a)ex+(—x2+ax)ex=[—/+(a—2)x+a]eX,所以[—H+(d—2)兀+6?]已丫20对xG(—1,1)都成立.因为e">0,所以一”+⑺一2)x+gM0对xW(—1,1)都成立
5、,x2+2xx+1(x+1)2—1x+1=(兀+1)-计7对xg(-1，1)都成立.令尸d+1)—士'则#=1+](x+1)所以yf+1)-士在(一1,1)上单调递增,133所以+即q羽.3因此实数Q的取值范围为氓热点二利用导数研究函数零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围.【例2】设函数f(x)=〃2x+卫，mWR.X⑴当m=e(e为自然对数的底数)时，求沧)的极小值；⑵讨论函数g(x)=/
6、(x)—
7、零点的个数.解(1)由题设，当m=c时，Xx)=lnx+;,Jix—e定义域为(0,+->),则/(x)=—由/(x)=0,得x=e.・•・当兀G(0,e),f(兀)<0,沧)在(0,e)上单调递减,当xe(e,4-oo),f(x)>o,f{x)在(e,+^)上单调递增，/.当兀=c时,.心)取得极小值/e)=Ine+f=2,・・・./(兀)的极小值为2.⑵由题设g(x)=f(x)-
8、=^-p-
9、(x>0),令g(x)=°，得加=—+x(x>0).设(p(x)=—
10、x3+x(x>0),则0(x)=—X2+1=—(X—l)(x+1),当xe(0,1
11、)时，(pf(x)>0,0⑴在(0,1)上单调递增；当xe(l,+oo)时，0(x)<0,0(x)在(1,+s)上单调递减.・・・x=l是°(对的唯一极值点，且是极大值点，因此x=l也是e(x)的最大值点.2:・(p(x)的最大值为卩(1)=亍又0(0)=0,结合y=(p⑴的图象(如图),2y尸卩伙)3012可知①当加〉彳时，函数g⑴无零点；2②当加=亍时，函数g(x)有且只有一个零点；2③当0V加<亍时,函数g(x)有两个零点；④当加W0时，函数g⑴有且只有一个零点.2综上所述，当加>亍时，函数g(x)无零点；2当加=亍或加W0吋，函数g(x)有II只有
12、一个零点；2当0V加<亍时,函数g(x)有两个零点.【类题通法】利
