2018届高考理科数学热点题型：函数与导数（有答案和解释）

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1、精品文档2018届高考理科数学热点题型：函数与导数（有答案和解释）函数与导数热点一　利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【例1】已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求实数a的取值范围.解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0

2、，＋∞)上单调递增.若a＞0，则当x∈0，1a时，f′(x)＞0；当x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0，所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减.综上，知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创9/9精品文档当a＞0时，f(x)在x＝1a处取得最大值，最大值为f1a＝ln1a＋a1－1a＝－lna＋a－1.因此f1a＞2

3、a－2等价于lna＋a－1＜0.令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，实数a的取值范围是(0，1).【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个

4、不能直接解出的超越型不等式时，如求解lna＋a－1<0，则需要构造函数来解.【对点训练】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数).(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围.解　(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创9/9精品文档＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)

5、ex>0，因为ex>0，所以－x2＋2>0，解得－2<x<2.所以函数f(x)的单调递增区间是(－2，2).(2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0对x∈(－1，1)都成立，因为f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1，1)都成立.因为ex>0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1，1)都成立，即a≥x2＋2xx＋1＝（x＋1）2－1x＋1＝(x＋1)－1x

6、＋1对x∈(－1，1)都成立.令y＝(x＋1)－1x＋1，则y′＝1＋1（x＋1）2>0.所以y＝(x＋1)－1x＋1在(－1，1)上单调递增，所以y<(1＋1)－11＋1＝32.即a≥32.因此实数a的取值范围为a≥32.热点二　利用导数研究函数零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创9/9

7、精品文档【例2】设函数f(x)＝lnx＋mx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数.解　(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋ex，定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝x－ex2，由f′(x)＝0，得x＝e.∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋ee＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题设

8、g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x＞0).设φ(x)＝－13x3＋x(x＞0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(