微积分——多元函数及二重积分知识点

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1、第四章矢量代数与空间解析几何微积分二大纲要求了解两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程.理解空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的

2、方法，平面方程和直线方程及其求法.第一节矢量代数一、内容精要（一）基本概念1.矢量的概念定义4.1一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。定义4.2两个矢量与，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作.换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。称为按照的坐标分解式，称为坐标式。若记。知是单位矢量且与的方向一致，且。因此，告诉我们求矢量的一种方法，即只要求出的大小

3、和与方向一致的单位矢量，则若，知其中是分别与Ox轴，Oy轴，Oz轴正向的夹角，而且2.矢量间的运算设·的确定（1）（2）与所确定的平面，方向可任意确定）垂直，且构成右手系若用坐标式给出，则图4-1由行列式的性质可知的几何意义：表示以为邻边的平行四边形的面积，即容易知道以为邻边的三角形面积为h图4-2.容易验证的性质可用行列式的性质来记，其余没有提到的性质与以前代数运算性质完全相同。的几何意义表示以为邻边的平行六面体的体积，即图4-3图4-4·容易知道以为邻边的四面体的体积为的应用特别重要，既若直线L既垂直矢量，也垂直矢量不平行，则L与确定的平面垂

4、直，又也与确定的平面垂直，由两直线与同一平面垂面，则两直线平行.知L与平行，换句话说是直线L的方向向量，是确定平面的法矢量，这对于求直线方程与平面方程显得非常重要。3.矢量间的关系1..2.的分量对应成比例，总存在唯一的常数，使。以上是我们在实际中判断两矢量垂直与平行的常用方法，请记住.3.共面不共线总存在唯一的两个实数m,n，使.Oθ图4-54.设三个矢量不共面，则对空间任一矢量，总存在唯一的三个常m,n,使5.设，上的投影指的是把的起点平移到的起点O，过的终点作的垂线交上一点P，OP称为在的投影，记作,即这个公式对我们在后面求点到直线上距离，

5、点到平面距离，两异面直线公垂线的长都有帮助。二、考题类型、解题策略及典型例题类型1.1求矢量的模解题策略1.，2.，例4.1.1已知互相垂直，且，求的模。·分析利用与，下一题类似.解由两两垂直，知，知.例4.1.2设，若以为邻边的平行四边行的面积为6，求常数k。解由公式得例4.1.3已知都是单位矢量且，求分析利用与.解由又，故例4.1.4设，向量共面且解法一设共面，知（1）由条件，有即（2）由条件即（3）·（1）、（2）（3）三式联立，解得，所以解法二因共面，且不共线，故可设得（4）得（5）（4）（5）联立，解得于是解法三由在上的投影相等且为正，

6、知在的夹角相等且为锐角，又因与共面，知的方向即是〈AOB的角平分线方向，而的方向即是平分线方向，因此AB图4-6平行，可设，由，故解法四由，按例4.1.5设·分析利用点积、叉积、混合积的性质.解原式第二节直线与平面一、内容精要（一）定理与公式直线方程点向式（对称式）：参数式：两点式：一般式：平面方程点法式一般式三点式截距式（）平面束两直线L1、L2位置关系垂直平行两平面π1、π2位置关系垂直平行直线L与平面π的位置关系垂直平行直线与平面·其中·P0QLP12R图4-71．设直线L方程为，其中是直线L上一点，是L的方向向量，P1（x1,y1,z1）

7、是直线L外一点，则P1到L的距离为. 证连接P0P1，过P1作L的垂线，垂足为Q，以分邻边作平行四边形，由在直线L上，知，于是注：在证明过程中假设P0不是P1的垂足，若P0是垂足，则，实际上时，上式依然成立。 2。设平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0,是平面的法矢量，P1（x1,y1,z1）是平面π外一点，则P1到平面π的距离为.P1QP0π图4-8证过作平面的垂线，垂足为Q，在平面π内选一点，连接P1P0，得矢量，由，知，于是而从而 又P0点在平面π上，有，故 ·3.设有两异面直线 则两直线之间的距离 .证端点分别在两异面直线上的公垂线的

8、长度称为两异面直线之间的距离（图7-9）.过直线L1作平面π平行于直线L2， 在L2上取一点M2，在L1上取一点M1，从M2引平面π的垂