武汉大学求解方程组的迭代法.ppt

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1、第二章2.2解线性方程组的迭代法数学与统计学院解线性方程组的两类方法直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。迭代法研究的主要问题1）迭代格式的构造；2）迭代的收敛性分析；3）收敛速度分析；4）复杂性分析；（计算工作量）5）初始值选择。迭代格式的构造把矩阵A分裂为则迭代过程B称为迭代矩阵。给定初值就得到向量序列定义：若称逐次逼近法收敛，否则，称逐次逼近法不收敛或发散。问题：是否是方程组（1）的解？定理1：任意给定初始向量，若由迭代公式（2）产生的迭

2、代序列收敛到，则是方程组（1）的解。证：逐次逼近法收敛的条件定理2：对任意初始向量，由（2）得到的迭代序列收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径证：因此要检验一个矩阵的谱半径小于1比较困难，所以我们希望用别的办法判断是否有定理3：若逐次逼近法的迭代矩阵满足，则逐次逼近法收敛。Remark:因为矩阵范数，，都可以直接用矩阵的元素计算，因此，用定理3，容易判别逐次逼近法的收敛性。问题：如何判断可以终止迭代？定理4：若迭代矩阵满足则（3）（4）Remark:(4)式给出了一个停止迭代的判别准则。(3）式指出越小收敛越快。，证：Jacobi迭代=Jaco

3、bi迭代分裂迭代过程：若记算法描述1输入2if,then2.1for2.1.1s=0,2.1.2for2.1.32.1.4ifthen2.2k=k+12.3ifthen2.3.12.3.2goto2else输出结束。else2.4输出迭代次数太大。3结束Gauss-Seidel迭代假设Jacobi迭代分裂算法描叙1输入2if,then2.1for2.1.1s=0，2.1.2for2.1.32.1.4ifthen2.2k=k+12.3if,输出结果，结束。else2.4输出迭代次数太大。3结束Remark:Gauss-Seidel迭代法的计算

4、过程比Jacobi迭代法更简单。计算过程中只需用一个一维数组存放迭代向量。Gauss-Seidel迭代不一定比Jacobi迭代收敛快。例希望直接对系数矩阵A研究这俩种迭代收敛条件。定理5设A是有正对角元的n阶对称矩阵，则Jacobi迭代收敛A和2D-A同为正定矩阵。证：记则即，从而有相同的谱半径。由A的对称性，也对称，因而特征值全为实数，记为则的任一特征值为。A，正定。故正定。A正定正定，特征值小于1。若2D-A正定,特征值小于1,所以特征值大于－1。定理6A按行（列）严格对角占优，则Jacobi迭代收敛。引理A按行（列）严格对角占优（）证

5、（提示）定理7A按行严格对角占优，则Gauss-Seidel迭代收敛。证设是任一特征值，x是相应特征向量。设若则定理8A按列严格对角占优，则Gauss-Seidel迭代收敛。证设是的任一特征值，x是相应特征向量。设