求解线性方程组的现代迭代法

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1、求解线性方程组的现代迭代法Saad*HenkA.vanderVorstt摘要本文简述了在法里，解决线性方程组的主要研究进展．虽然求解线性方程组的现代迭代法起源于19世纪初的工作（Gauss），工程和科学技术的进步促进了非凡活动的爆发．过去50年来一直特别丰富的新的发展中，随着大型专业算法工具箱解决了非常大的问题，科学和工业计算模型出现供应也结束．正如在其他任何科学领域里，迭代法的研究也得到了相互的建设贡献链为特征的旅程．本文的目的不仅是为了描述迭代方法最重要的贡献，也阐述在过去的一个世纪，与其他科学领域的彼此发展．1引言数值线性代数是一个令人激动的研究领域，这项研究已经发表了很多著名结论，可以

2、简单概括为：若，解决矢量，如．许多科学问题导致要有专门的方法来解决，如作为部分计算的线性方程组．从纯数学的角度来看，这个问题的意义可以被视为是解决知道明确条件和决定因素的解决方案在这个意义上．该解决方案实际计算可能会导致严重的并发症，当进行了有限精度，当每个基本算术操作需要一定的时间．即使是“简单”的情况并且是非齐次形式时，这是一个从数学的角度来看小问题，可能会变得非常复杂，从计算的角度来看，甚至可能变成是不可能的．传统的方法解决非齐次方程组是采用Gauss消去法，和其相关的所有拓展的理论来克服数值的不稳定性．这传统的方法解决非齐次方程组是采用Gauss消去法，和其相关的所有拓展的理论来克服数

3、值的不稳定性个过程可以进行16/16的基本浮点运算（加法和乘法运算，假设）．许多应用程序导致了大的为线性方程组（其中的概念“大”当然取决于对现有的能力计算机操作），并很快成为明显问题，人们必须利用手头的一个具体的属性，以使该方程组解决方案是可行的．这就导致了Gauss消去法中非零A的结构利用，使零乘法结果是避免在计算机存储促使储蓄能够实现的改变．另一种方法是基于方向相近的一个线性方程组的解决方案，一个矩阵，承认计算简单进程（在计算时间和计算机存储方面），并加入一个反复的过程．这两种方法的宗旨是使不可能成为可能，因为那时在初学者这一领域，这可能只是一个聪明的编程技巧集合：“在原则上解决问题，是不

4、言而喻的，但人有良好的组织，使计算过程更快一点．“为此初学者一定会得到一个很大的意外，一个完整的，还没有完成得数学框架，必须有深厚的发展和优雅的结果．因此，相关方程可以解决大量的问题（而且也往往更准确），一个简单的Gauss消元方法．在本文中，我们将描述他的发展和进步，已在20世纪单独迭代方法中进行．正如将要明确的是，低端领域不能孤立地发展，迭代方法和Gauss消去法的区别大多是是人为重叠，两种方法是在许多情况下显着相同．然而，两种方法都有自己的优势，人为的可能根据自己的兴趣利益其中一个解决问题．很有可能在未来的数值方法方面，研究人员求解大型线性方程组的迭代方法将成为一个时代，迭代方法开始在现

5、实生活中得到大量的接受并在工业应用方面开始运用．我们在过去的文献中发现，有趣的是，迭代法和直接法往往在解决大型方程组应用中成为的竞争．一个特别的发现，将促进从一个营地给定的方法或许只看到另一个促进来自其他阵营竞争的方法．例如，在五、六十年代类型的方法关于最优松弛研究被有些人看到了极大的兴趣，如Young,Varga,Southwell,Frankelandothers．不久后，有其他方面的提示，从花费精力和计算成本的角度看稀疏的直接法似乎是非常有竞争力．直到今天，仍然有直接法求解和迭代发求解为主的其他主导应用．由于直接法求解需要计算机高内存，在所有的应用程序中，人们认为，这些最终将通过迭代法求

6、解所取代．然而，直接求解法的花费精力阻止了这一优势．在电脑速度变得更快，非常大的问题是通常通过两种方法来解决．甚至在20世纪中期，迭代法也不总是被人们重视。认为没有希望。16/16例如，1956年，Bodewig提到迭代如下缺点：几乎总是过于缓慢（除非矩阵方法对角矩阵）．对于大多数问题来说，他们并没有趋同，他们不能很容易被机械化，所以他们更适合手工计算比由机器计算，他们不掌握情况的优势是对称的方程．唯一的潜在优势被认为是观察舍入误差不累积问题，他们只限于最后一次操作．值得注意的是，在1956年"Lanczos"并不像迭代法．  迭代法求解问题渗透到应用程序是一个缓慢的进程，目前仍在进行中．以写

7、作为例，有结构的工程应用，以及在电路仿真，是由直接求解器为主．这项审查将试图突出迭代方法对过去主要事态的发展.很明显，几页不能覆盖的100多年彻底的调查丰富发展．因此，我们强调的理念是成功的，产生了重大影响．   其中的来源是我们的简短调查使用中，我们想提及几个值得注意的是其完整性或代表某一特定时期的思维．由和Young给出了迭代方法的完整的论文，因为他们在60年代和70年代使用过．Varga论文