迭代法求解线性方程组的研究

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1、迭代法求解线性方程组的研究【摘要】：本文总结了解线性方程组的三个迭代法，Jacobi迭代法，Gauss-seidel迭代法，SOR迭代法，并且介绍了现代数值计算软件MATLAB在这方面的应用，即分别给出三个迭代法的数值实验。【关键字】：Jacobi迭代法Gauss-seidel迭代法SOR迭代法数值实验—・引言迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。设有方程组Ax=b…①将其转化为等价的，便于迭代的形式x=Bx--f…②(这种转

2、化总能实现，如令B=I-AJ=h)t并由此构造迭代公式严)=讣+/…③式中B称为迭代矩阵，f称为迭代向量。对任意的初始向量%<0),由式③可求得向量序歹L{**)}；,若lmx(k)=x则T就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B的性质。本文介绍三种解线性方程组的最主要的三种迭代法：Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和S0R迭代法。本文结构如下：第二部分介绍Jacobi迭代法及其数值实验，第三部分介绍Gauss-Seidel迭代法及其数值实验，

3、第四部分介绍SOR迭代法及其数值实验，第五部分总结。二.雅克比(Jacobi)迭代法1.雅克比迭代法的格式设有方程组…①Xaijxj=bj(i=1,2,3,•••,/?)J=I矩阵形式为Ax=by设系数矩阵A为非奇异矩阵，月•勺北0(=123,…/)从式①中第i个方程中解出X,得其等价形式X严一少一工QijXj）anj计取初始向量,°）=（片°）,站°）,…，址°））,对式②应用迭代法,xf+,)=-_aiiJ乔I…②可建立相应的迭代公式：…③也可记为矩阵形式:兀心）=b广+Ff…④若将系数矩阵A分解为A二D-L-U,式中a

4、n‘0d]2%3°a23-D=0ann)ann-l°丿aa2nan-0则方程Ax二b变为得于是(D-L-U)x=bDx=(厶+(/)x+bx=D-[(L+U^x+D"于是式中④屮的=D-D-A)x^D~ib=(I-D-}A)x+D'lbB,=1-厅'入仃=D']bo式③和式④分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵型式用于讨论迭代法的收敛性。1.雅克比迭代法的程序雅克比迭代法的MATLAB函数文件agui—jacobi.m如下。Functionx=agui_jacobi(a,b)%a为系

5、数矩阵，b为右端向量，兀()为初始向量(默认为零向量)为精度(默认为le-6)小为最大迭代次数(默认为100)x为返回解向量。n二longth(b)；N=100;e二le-6;xO二zeros(n,1);x=x0;xO二x+2*g;k=0;d=diag(diag,0);l=-tri1(a,-1);u二-1riu(a,1);whilenorm(x0-x,inf)>e&k

6、数值例子用雅克比迭代法求解如下线性方程组。10X]-x2-2x3-72*—X]+10x9—2兀3=83_兀[—兀°+5兀3=42解：在MATLAB命令窗口求解例题»a=[10-12;-110-2;-l-15]a=10-12-110-2-1-15»b=[72;83;42]b=728342>>x=agui_jacobi(a,b)计算结果为：8.3000000000000010.700000000000008.4000000000000011.50000000000000k二17.20000000000000k=29.7100000

7、00000000k二1610.9999996844967011.9999996844967012.9999996258331710.9999996844967011.9999996844967012.99999962583317.三.高斯一赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法1.高斯一赛德尔迭代法的格式。雅克比迭代法的优点是公式简单，迭代矩阵容易计算。在每一步迭代时，用x⑷的全部分量求出,如）的全部分量，因此称为同步迭代法，计算时需保留两个近似解兀⑹和,如）。但在雅克比迭代过程中，对己经计算出的信息未能充分利用，即在计算第

8、i个分量召“⑷时,已经计算出的最新分量£凶）,没有被利用。从直观上看，在收敛的前提下，这些新的分量#知“,…,兀/严应比旧的分量兀;？…，兀纠更好，更精确一些。因此，如果每计算出一个新的分量便立即用它取代对应的旧分量进行迭代，可能收敛的速度更快，并且只需要储存一个近似解向量即