浙江专版2019版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第2节空间几何体的表面积与体积学案理.doc

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1、第2节　空间几何体的表面积与体积最新考纲　了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．知识梳理1．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝Sh台体(棱台和

2、圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3[常用结论与微点提醒]1．长方体的外接球(1)球心：体对角线的交点；(2)半径：r＝(a，b，c为长方体的长、宽、高)．2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球(1)外接球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)；(2)内切球：球心是正方体中心；半径r＝(a为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)．3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一

3、部分)(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)；(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)．诊断自测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　)(2)球的体积之比等于半径比的平方．(　　)(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　)(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.(　　)解析　(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确．(2)球的体积之比等于半径比的立方

4、，故不正确．答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)A．1cmB．2cmC．3cmD.cm解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．答案　B3．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)A.＋1B.＋3C.＋1D.＋3解析　由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个

5、底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，所以该几何体的体积V＝×π×12×3＋××××3＝＋1.答案　A4．(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)A．12πB.πC．8πD．4π解析　设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝a，即R＝.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.答案　A5．(2017·江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积

6、为V2，则的值是________．解析　设球半径为R，则圆柱底面圆半径为R，母线长为2R，又V1＝πR2·2R＝2πR3，V2＝πR3，所以＝＝.答案　6．(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm2，体积是______cm3.解析　由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长方体的长、宽、高分别为4cm、2cm、2cm，其直观图如下：其体积V＝2×2×2×4＝32(cm3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S＝2(

7、2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm2)．答案　72　32考点一　空间几何体的表面积【例1】(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(　　)A．8＋2B．11＋2C．14＋2D．15(2)(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)A．17πB．18πC．20πD．28π解析　(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰

8、长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为2×(4＋)＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋2＋3＝11＋2.(2)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的后得到的组合体，其表面积是球面面积的和三个圆面积之和，易得球的半径为2，则得S＝×4π×22＋3×π×22＝17π.答案　(1)B　(2)A规律方法　空间几何体表面积的求法．(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各