江苏专用2019版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第48讲空间几何体的表面积与体积学案.doc

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1、第48讲　空间几何体的表面积与体积考试要求　1.空间几何体的表面积(A级要求)，体积(A级要求)；2.高考对本讲内容的考查以填空题为主.应关注空间几何体表面积、体积的计算问题.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(　　)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　　)(3)圆柱的侧面展开图是矩形.(　　)(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.(　　)(5)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.(　　)解析　如图中的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边

2、形，但不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱，故(1)错；(2)有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故(2)错.答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√2.(必修2P69复习题5改编)若长方体相邻的三个面的面积分别是，，，则长方体的体积为________.解析　可求三棱长为1，，，则体积为1××＝.答案　3.(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________.解析　设正方体棱长为a，则6a2＝18⇒a2＝3，a＝.外接球直径为2R＝

3、a＝3，R＝，V＝πR3＝π×＝π.答案　4.(必修2P71复习题20改编)设P，A，B，C是球O表面上的四点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝，PC＝3，则球O的表面积是________.解析　可把PA，PB，PC看成长方体从同一个顶点出发的三条棱，则球O的半径的大小为＝2，所以球O的表面积为16π.答案　16π5.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________.解析　如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝.∴底面圆半径r＝＝，

4、故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·×1＝.答案　6.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为________.解析　取AC的中点O，连接DO，BO，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形.因为DO＝BO＝＝a，BD＝a，所以△BDO也是等腰直角三角形.又因为DO⊥AC，DO⊥BO，AC∩BO＝O，所以DO⊥平面ABC，即DO就是三棱锥D－ABC的高.因为S△ABC＝a2，所以三棱锥D－ABC的体积为×a2×a＝a3.答案　a3知识梳理1.多面体的结构特征2.旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三

5、角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.柱、锥、台和球的表面积和体积　　名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR34.常用结论(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(2)几个与球有关的切、接常用结论a.正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正

6、方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.考点一　空间几何体的结构特征【例1】给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是________.解析　①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面

7、的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.答案　②③④规律方法　(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.【训练1】(1)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③

8、圆柱、圆锥、圆台的底面都