浙江专版2019版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第7节空间角的计算学案理.doc

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1、第7节　空间角的计算最新考纲　1.能用几何方法解决空间角问题；2.了解向量方法在研究立体几何空间角问题中的应用．知识梳理1．求异面直线所成的角(1)(几何法)通过作平行线化为三角形求解．(2)(向量法)设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围(0，π)求法cosβ＝cosθ＝

2、cosβ

3、＝2.求直线与平面所成的角(1)(几何法)通过直线在平面上的射影求解，其步骤为“一作、二证、三计算”．(2)(向量法)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝

4、cos〈a，n〉

5、＝．3．求二面角的大小(

6、1)(几何法)通过一个面的垂线或垂面先作出二面角的平面角，然后加以证明和计算．(2)(向量法)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈，〉．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足

7、cosθ

8、＝

9、cos〈n1，n2〉

10、，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．[常用结论与微点提醒]1．异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角．2．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平

11、面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝

12、cos〈a，n〉

13、，不要误记为cosθ＝

14、cos〈a，n〉

15、.3．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补．诊断自测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　　)(4)两异面直线夹角的范围是，

16、直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(选修2－1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(　　)A．45°B．135°C．45°或135°D．90°解析　cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.答案　C3．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.解析　建立如

17、图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以＝(1，－1，2)，＝(－1，0，2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝＝＝.答案　C4．(2018·舟山测试)平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则此斜线与平面α内所有不过斜足的直线所成的角θ的范围是(　　)A．0°<θ≤35°B．0°<θ≤90°C．35°≤θ<90°D．35°≤θ≤90°解析　设平面α的斜线的斜足为B，过斜线上A点作平面α的垂线，垂足为C，则∠ABC＝35°，∴当α内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角θ为35°；当α内

18、的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，∴直线与斜线所成的角θ为90°；当α内的直线与BC既不平行也不垂直时，直线与斜线所成的角θ满足35°<θ<90°.答案　D5．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________．解析　设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，∴sinθ＝

19、cos〈m，n〉

20、＝，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.答案　30°6．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________．解析　如图，建立空间直角坐标系，设AB

21、＝PA＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.所以＝(0，1，0)，＝分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈，〉＝45°.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.答案　45°考点一　求异面直线所成的角【例1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：(1)△PCD的面积．(2)(一题