浙江专版2019版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第6节空间向量及其运算和空间位置关系学案理.doc

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1、第6节　空间向量及其运算和空间位置关系最新考纲　1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示；2.了解空间向量的线性运算及其坐标表示；3.了解空间向量的数量积及其坐标表示．知识梳理1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝

2、λa．推论　如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t．(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1．(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相

3、关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则

4、a

5、

6、b

7、cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝

8、a

9、

10、b

11、cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b

12、1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模

13、a

14、夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝5.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．6．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线

15、l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0[常用结论与微点提醒]1．共线向量定理的推论如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t.2．a·b＝0⇔a＝0或b＝0或〈a，b〉＝.3．a·b<0不等价为〈a，b〉为钝角，因为〈a，b〉可能为180°；a·b>0不等价为〈a，b〉为锐角，因为〈a，b〉可能为0°.诊断自测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(

16、　　)(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　　)(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　)(4)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角．(　　)解析　对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若〈a，b〉＝π，则a·b<0，故(4)不正确．答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)A．垂直B．平行C

17、．异面D．相交但不垂直解析　由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点．∴AB∥CD.答案　B3．(选修2－1P97A2改编)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，1＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c解析　由题意，根据向量运算的几何运算法则，＝1＋＝1＋(－)＝