课标通用高考数学一轮复习第八章8.6空间向量及其运算和空间位置关系学案理

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1、§8.6　空间向量及其运算和空间位置关系考纲展示►　1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．6．理解直线的方向向量与平面的法向量．7．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．8．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．考点1　空间向量的线性运算空间向量的有关概念(1)空

2、间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相____________的向量．(4)共面向量：________________的向量．答案：(1)大小　方向　(2)相同　相等　(3)平行或重合　(4)平行于同一个平面(1)[教材习题改编]已知在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则化简＋(＋)＝________.答案：解析：＋(＋)＝＋＝.(2)[教材习题改编]如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B

3、1D1-16-的交点．若＝a，＝b，＝c，则可用a，b，c表示为________．答案：－a＋b＋c解析：由图可知，＝＋＝＋＝＋(－)＝c＋(b－c)＝－a＋b＋c.[典题1]　(1)[2017·河南郑州模拟]如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.[答案]　[解析]　设＝a，＝b，＝c，则＝－＝(＋)－＝b＋c－a，＝＋＝＋-16-＝a＋＝a＋b＋c.又＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝，因此x＋y＋z＝＋＋＝.(2)如图所示，在空间几何体ABCD－A

4、1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：①；②＋.[解]　①因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.②因为M是AA1的中点，所以＝＋＝＋-16-＝－a＋＝a＋b＋c.又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，所以＋＝＋＝a＋b＋c.[点石成金]　用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法

5、则、平行四边形法则仍然成立．考点2　共线、共面向量定理的应用空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.空间向量理解的误区：共线；共面．给出下列命题：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c

6、共面；③已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z-16-使得p＝xa＋yb＋zc；④若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.其中为真命题的是________.答案：④解析：若a与b共线，则a，b所在的直线可能平行也可能重合，故①不正确；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但三个却不一定共面，故②不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一个向量p才一定能表示为p＝xa＋yb＋zc，故③不正确；据向量运算法则可知④正确.[典题2]　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)

7、E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.[证明]　(1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．(2)＝－＝－＝(－)＝.-16-因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.[点石成金]　应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面＝λ＝x＋y对空间任一点O，＝＋t对空间任一点O，＝＋x＋y对空间任一点O，＝x＋(1－x)对空间任一点O，＝x＋y＋(1－