全国通用2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算学案

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1、§8.6空间向量及其运算最新考纲考情考向分析1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.基础知识自主学习1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为父的向量0

2、单位向量长度(模)为L的向量—相等向量方向相同且模相等的向量a=b相反向量方向相反11模相等的向量a的相反向量为一$共线向量表示空间向暈的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a//b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量$与6C6H0)共线的充要条件是存在实数久，使得Ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p=xa+yb.其中yWR,a,〃为不共线向量.(3)空间向量基本定理如果三个向量0b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组"，y,?｝,使得p=xa+yb+zcf｛日，b

3、,c｝叫做空间的一个基底.2.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量日，b,在空间任収一点0,作OA=a,6B=b,则乙AOB叫做向量2,〃的夹角，记作3,6〉，其范围是0W〈⑦方〉S，若〈爲，b)=y,则称爲与方互相垂直,记作日丄方.②两向量的数量积已知空间两个非零向量b,贝IJ

4、a

5、

6、bcos〈£,b)叫做向量竝，b的数量积，记作a・b,即a*b=a

7、Z>

8、cos

9、.3.空I'可向量的坐标表示及其应用设a=(自i,臼2,臼：J,b=(方1,bi,Z?.j).向量表示坐标表示数量积a9bab[+a>by+共线a=久厶（6H0,人GR）3=b32=bi日3=久厶垂直a•方=0（£工0,方HO）ab+G厶+厶=0模>1寸诸+£+£夹角〈a,b）（aHO,bHO）,八日"1+日2厶+$3厶cos也力何亍馬•【知识拓展】1.向量三点共线定理在平面中昇，B,C三点共线的充要条件是：OA=xOB+^OC｛其中x+y=l),0为平面内任意一点•2.向量四点共面定理在空间中只A,B,C四点共面的充要条件是：7)

10、1^=xOA+yOB+M其中x+y+z=l),0为空间中任意一点.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1)空间中任意两个非零向量2〃共面.(V)⑵在向量的数量积运算中(a•b)•c=a•(A•c).(X)(1)对于非零向量b,由a•b=b•c＞则a=c.(X)(2)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(X)(3)若力，B,C,〃是空间任意四点，则有AB+~BC+CD+DA=O.(V)(4)若日・艮0,贝I」〈日，4是钝角.(X)题组二教材改编2.[P97A组T2]如图所示，在平行六面体ABCD-A^

11、GD,中，於为/心与〃虫的交点.若~AB=a,AD=b,AAx=c,则下列向量中与廳相等的向量是()A.-刍+扣+cB.刍+羽+cC.-刍-”+cD.*日-詁+c答案A解析应匸丽、+瓦(乔一屁)=c+^{b—a)=-*$+詁+c.3.[P98T3]正四面体/财的棱长为2,E,尸分别为仇；M〃的中点，则莎的长为答案^2解析

12、彥

13、—厉=(EC+~CD+~DP)2=厉+厉+爾+2(茲・励+茲・~DF+~CD・莎)=12+22+12+2(1X2Xcos120°+0+2XlXcos120°)=2,・・・

14、丽=农，・••肪的长为辺.题组三易错自纠1.在空

15、间直角坐标系中,已知J(l,2,3),Bl—2,-1,6),C(3,2,1),〃(4,3,0),则直线力〃与弘的位置关系是()A.垂直C.异面答案BA.平行D.相交但不垂直解析由题意得，AB=(—3,—3,3),677=仃，1,—1),・••元=一3励，・・・乔与触线，又与〃没有公共点，AB//CD.2.与向量(一3,-4,5)共线的单位向量是答案2^2'5，3^22边伯10，_5，2)共面,则实数t=-4,5)的模为A,B,C四点解析因为与向量a共线的单位向量是土〒，又因为向量(一3,^(-3)2+(-4)2+52=5V2,所以与向量(一3

16、,-4,5)共线的单位向量是1土亦3'~4f5)=±10(_3,一4'5)・3.。为空间屮任意一点，A,B,C三点不共线，且尬荻+諭+骯,答案解析・诗+2+&1题型