2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算学案理北师大版

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1、§8.6　空间向量及其运算最新考纲考情考向分析1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容．一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长

2、度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b

3、，c}叫作空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则

4、a

5、

6、b

7、cos〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝

8、a

9、

10、b

11、cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c

12、.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模

13、a

14、夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝知识拓展1．向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝

15、1)，O为空间中任意一点．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　√　)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　×　)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　×　)(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　)(6)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(　×　)题组二　教材改编2.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1

16、的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c答案　A解析　＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．答案　解析　

17、

18、2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴

19、

20、＝，∴EF的长为.题组三　易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)

21、，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直答案　B解析　由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)，∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.5．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是__________________________________．答案　和解析　因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4，5)＝±(－3，－4,5)．6．O为空间中任意一点，A，B，C三

22、点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________.答案　解析　∵P，A，B，C四点共面，∴＋＋t＝1，∴t＝.题型一　空间向量的线性运算1.如图所示，在长方体ABCD