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《课标通用高考数学一轮复习第八章8.7利用空间向量求空间角学案理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§8.7 利用空间向量求空间角考纲展示► 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.考点1 异面直线所成的角两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝
2、cosθ
3、＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．空间角的范围处理错误．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________．答案：30°解析：设l与α所成的角为θ，则sinθ＝
4、cos〈m，n〉
5、＝，∴θ＝30°.[典题1
6、] (1)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，-27-设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝＝＝.(2)如图，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，则AF与CE所成角的余弦值为___
7、_____．[答案] [解析] ∵AE∶ED∶AD＝1∶1∶，∴AE⊥ED，即AE，DE，EF两两垂直，-27-∴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝EF＝CD＝2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0,2,1)，∴＝(－1,2,0)，＝(0,2,1)，∴cos〈，〉＝＝＝，∴AF与CE所成角的余弦值为.[点石成金] 1.利用向量法求异面直线所成角的步骤2．注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．考点2 直线与平面所成角 直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线
8、l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝
9、cosθ
10、＝.-27-(1)[教材习题改编]若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于________．答案：30°解析：根据线面角的定义易知为30°.(2)[教材习题改编]如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(0,2,1)，b＝(，，)，那么这条斜线与平面的夹角是________．答案：30°解析：cos〈a，b〉＝＝，因此a与b的夹角为30°，即斜线与平面的夹角也为30°.(3)[教材习题改编]如图所示，在正方体ABCD
11、－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为________．答案：解析：设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，，，所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，所以cos〈，-27-〉＝－，所以sin〈，〉＝.[典题2] [2017·河南郑州二模]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°.(1)求证：A1B⊥AC1；(2)已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线
12、EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．(1)[证明] AC的中点O，连接A1O，因为四边形AA1C1C是菱形，且∠A1AC＝60°，所以△A1AC为等边三角形，所以A1O⊥AC.又平面ABC⊥平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC.又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，所以AC1⊥BC.在菱形AA1C1C中，AC1⊥A1C，所以AC1⊥平面A1BC，所以A1B⊥AC1.(2)[解] 以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，-27-则A(0，－1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,2，)
13、，＝(2,2,0)，＝＝(0,1，)．设m＝(x，y，z)是平面ABB1A1的法向量，则即取z＝－1，可得m＝(－，，－1)．又E(1,0,0)，所以＝(－1,2，)，设直线EC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则sinθ＝
14、cos〈，m〉
15、＝＝.[点石成金] 利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.[2017·辽宁协作体联考]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求B
16、B1与平面ACD1所成的角的余弦值．解：设正方体的边长为DD1＝1，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立
