2019版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第7节空间角的计算课件理

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1、第7节　空间角的计算最新考纲1.能用几何方法解决空间角问题；2.了解向量方法在研究立体几何空间角问题中的应用.1.求异面直线所成的角(1)(几何法)通过作平行线化为三角形求解.(2)(向量法)设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则知识梳理2.求直线与平面所成的角

2、cos〈a，n〉3.求二面角的大小(1)(几何法)通过一个面的垂线或垂面先作出二面角的平面角，然后加以证明和计算.(2)(向量法)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝_______________.如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量

3、，则二面角的大小θ满足

4、cosθ

5、＝______________，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).

6、cos〈n1，n2〉

7、[常用结论与微点提醒]1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.2.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝

8、cos〈a，n〉

9、，不要误记为cosθ＝

10、cos〈a，n〉

11、.3.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形

12、中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(选修2－1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.答案C答案C4.(2018·舟山测试)平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则此斜线与平面α内所有不过斜足的直线所成的角θ的范围是()A.0°<θ≤35°B.0°<θ≤90°C.35°≤θ<90

13、°D.35°≤θ≤90°解析设平面α的斜线的斜足为B，过斜线上A点作平面α的垂线，垂足为C，则∠ABC＝35°，∴当α内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角θ为35°；当α内的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，∴直线与斜线所成的角θ为90°；当α内的直线与BC既不平行也不垂直时，直线与斜线所成的角θ满足35°<θ<90°.答案D答案30°6.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________.解析如图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意

14、，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.答案45°考点一　求异面直线所成的角(1)△PCD的面积.(2)(一题多解)异面直线BC与AE所成的角的大小.(2)法一如图1，取PB中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.图1图2【训练1】(1)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，PA＝AB，则PB与AC所成角的余弦值为()(2)(2018·浙江五校联考

15、)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在A1C上运动(包括端点)，则BP与AD1所成角的取值范围是()答案(1)C(2)D考点二　求直线与平面所成的角【例2】(2018·浙江“超级全能生”联考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE＝a，点M在线段EF上，且MF＝2EM.(1)求证：AM∥平面BDF；(2)(一题多解)求直线AM与平面BEF所成角的余弦值.(1)证明在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC

16、＝30°，∠DCB＝120°，∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，∴AC⊥BC.∴四边形AMFN是平行四边形，∴AM∥NF，又NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，∴AM∥平面BDF.(2)解法一由题知AC∥EF，∴点A到平面BEF的距离等于点C到平面BEF的距离，过点C作BF的垂线交BF于点H，∵AC⊥CF，AC⊥BC，BC∩CF＝C，∴AC⊥平面BCF，即EF⊥平面BCF，∴CH⊥EF，又∵CH⊥BF，EF∩BF＝F，∴CH⊥平面BEF.(1)求证：平面PBC⊥平面ABCD