二次函数中考压轴题(定值问题)解析精选.doc

二次函数中考压轴题(定值问题)解析精选.doc

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1、.二次函数中考压轴题(定值问题)解析精选【例1】(2013•南通)如图,直线y=kx+b(b>0)与抛物线相交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,设△OCD的面积为S,且kS+32=0.(1)求b的值;(2)求证:点(y1,y2)在反比例函数的图象上;(3)求证:x1•OB+y2•OA=0.考点:二次函数综合题专题:压轴题.分析:(1)先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标,得到△OCD的面积S=﹣,再根据kS+32=0,及b>0即可求出b的值;(2)先由y=kx+8,得x

2、=,再将x=代入y=x2,整理得y2﹣(16+8k2)y+64=0,然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,知y1,y2是方程y2﹣(16+8k2)y+64=0的两个根,根据一元二次方程根与系数的关系得到y1•y2=64,即点(y1,y2)在反比例函数的图象上;(3)先由勾股定理,得出OA2=+,OB2=+,AB2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2,由(2)得y1•y2=64,又易得x1•x2=﹣64,则OA2+OB2=AB2,根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°.再过点A作AE⊥x轴于点E,过点B

3、作BF⊥x轴于点F,根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△OFB,由相似三角形对应边成比例得到=,即可证明x1•OB+y2•OA=0.解答:(1)解:∵直线y=kx+b(b>0)与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,∴令x=0,得y=b;令y=0,x=﹣,∴△OCD的面积S=(﹣)•b=﹣.∵kS+32=0,..∴k(﹣)+32=0,解得b=±8,∵b>0,∴b=8;(2)证明:由(1)知,直线的解析式为y=kx+8,即x=,将x=代入y=x2,得y=()2,整理,得y2﹣(16+8k2)y+64=0.∵直线y=kx+8与抛物线相交于点A

4、(x1,y1),B(x2,y2)两点,∴y1,y2是方程y2﹣(16+8k2)y+64=0的两个根,∴y1•y2=64,∴点(y1,y2)在反比例函数的图象上;(3)证明:由勾股定理,得OA2=+,OB2=+,AB2=(x1﹣x2)2+(y1﹣y2)2,由(2)得y1•y2=64,同理,将y=kx+8代入y=x2,得kx+8=x2,即x2﹣8kx﹣64=0,∴x1•x2=﹣64,∴AB2=+++﹣2x1•x2﹣2y1•y2=+++,又∵OA2+OB2=+++,∴OA2+OB2=AB2,∴△OAB是直角三角形,∠AOB=90°.如图,过点A作AE⊥x轴

5、于点E,过点B作BF⊥x轴于点F.∵∠AOB=90°,∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF,又∵∠AEO=∠OFB=90°,∴△AEO∽△OFB,∴=,∵OE=﹣x1,BF=y2,..∴=,∴x1•OB+y2•OA=0.点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,一次函数与二次函数的交点,一元二次方程根与系数的关系,勾股定理及其逆定理,相似三角形的判定与性质,综合性较强,难度适中.求出△OCD的面积S是解第(1)问的关键;根据函数与方程的关系,得到y1,y2是方程y2﹣(16+8k2)y

6、+64=0的两个根,进而得出y1•y2=64是解第(2)问的关键;根据函数与方程的关系,一元二次方程根与系数的关系,勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°,是解第(3)问的关键.【例2】(2013•吉林)如图①,在平面直角坐标系中,点P(0,m2)(m>0)在y轴正半轴上,过点P作平行于x轴的直线,分别交抛物线C1:y=x2于点A、B,交抛物线C2:y=x2于点C、D.原点O关于直线AB的对称点为点Q,分别连接OA,OB,QC和QD.【猜想与证明】填表:m123由上表猜想:对任意m(m>0)均有=  .请证明你的猜想.【探究与应用】(1)利用上面的结

7、论,可得△AOB与△CQD面积比为  ;(2)当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时,求△CQD与△AOB面积之差;【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E,过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F.在y轴上任取一点M,连接MA、ME、MD和MF,则△MAE与△MDF面积的比值为  ...考点:二次函数综合题分析:猜想与证明:把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值,就可以求出结论,从而发现规律得出对任意m(m>0)将y=m2代入两个二次函数的解析式就可以分别表示出AB与CD的值,从而得出均有=;探究与证明

8、:(1)由条件可以得出△AOB与△CQD高相等,就可以得出面积之比等于底之比而得出结论;(2)分两种情况讨论

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