中考数学 压轴题函数梯形问题精选解析(二)

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1、2013中考数学压轴题函数梯形问题精选解析(二)例3如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y=,点C的坐标为(–4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点P(t,0)在x轴上.(1)写出点M的坐标;(2)当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时.①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;②当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时,求t的值.图1解析(1)因为AB=OC=4,A、B关于y轴对称,所以点A的横坐标为2.将x=2代入y=,得y=

2、2.所以点M的坐标为(0,2).(2)①如图2,过点Q作QH^x轴,设垂足为H,则HQ=y,HP=x–t.因为CM//PQ,所以∠QPH=∠MCO.因此tan∠QPH=tan∠MCO,即.所以.整理,得.如图3,当P与C重合时,,解方程,得.如图4,当Q与B或A重合时,四边形为平行四边形,此时,x=±2.因此自变量x的取值范围是,且x¹±2的所有实数.图2图3图4②因为sin∠QPH=sin∠MCO,所以,即.当时,.解方程,得(如图5).此时.3当时,.解方程,得.如图6,当时,;如图6,当时,.图5图6图7考点伸

3、展本题情境下,以Q为圆心、QM为半径的动圆与x轴有怎样的位置关系呢?设点Q的坐标为,那么.而点Q到x轴的距离为.因此圆Q的半径QM等于圆心Q到x轴的距离,圆Q与x轴相切.例4已知,矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示,点A的坐标为(4,0),点C的坐标为,直线与边BC相交于点D.(1)求点D的坐标;(2)抛物线经过点A、D、O,求此抛物线的表达式;(3)在这个抛物线上是否存在点M,使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图1解析(1)因为BC//x轴

4、,点D在BC上,C(0,-2),所以点D的纵坐标为-2.把y=-2代入,求得x=3.所以点D的坐标为(3,-2).(2)由于抛物线与x轴交于点O、A(4,0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),代入D3(3,-2),得.所求的二次函数解析式为.(3)设点M的坐标为.①如图2,当OM//DA时,作MN⊥x轴,DQ⊥x轴,垂足分别为N、Q.由tan∠MON=tan∠DAQ,得.因为x=0时点M与O重合,因此,解得x=7.此时点M的坐标为(7,14).②如图3,当AM//OD时,由tan∠MAN=tan∠DOQ,得.因

5、为x=4时点M与A重合,因此,解得x=-1.此时点M的坐标为.③如图4,当DM//OA时,点M与点D关于抛物线的对称轴对称,此时点M的坐标为(1,-2).图2图3图4考点伸展第(3)题的①、②用几何法进行计算,依据是两直线平行,内错角的正切相等.如果用代数法进行,计算过程比较麻烦.以①为例,先求出直线AD的解析式,再求出直线OM的解析式,最后解由直线OM和抛物线的解析式组成的二元二次方程组.3

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