专题五 勒贝格积分(tou )1.ppt

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1、专题五勒贝格积分勒贝格积分思想的产生积分极限定理勒贝格积分的概念和性质一、勒贝格积分思想的产生1.黎曼（Riemann)积分(即定积分)的基本思想设f(x)在[a,b]上有界，分割[a,b]，作乘积，求和，取极限2.达布(Darbour)大和与达布小和设xi(i=1,2,..n)为区间[a,b]的任一分点组,记:=Mi-mi称为f(x)在[xi-1,xi]上的振幅S=Mixi为f(x)的D大和s=mixi为f(x)的D小和f(x)在[a,b]上R可积limf(i)xi存在注：lim(S-s)=0limixi=0这表明:f(x)在[a,b]上R可积时,

2、=maxxi充分小时,每个振幅i(i=1,2,…)都很小或振幅i不能任意小的子区间的长度之和(即测度)很小.（1）对被积函数和积分域要求过于严格.要求积分域为区间,对一般点集而言,R积分无法定义;并要求被积函数f(x)在积分区间[a,b]上的变化不能太快,至少急剧变化的点不能太多(一般f(x)在[a,b]上应是连续或分段连续,即几乎处处连续).象[0,1]上的狄里克来函数就不R可积.（2）另一方面,R积分理论上存在弊端.R可积函数序列的极限函数(逐点收敛)未必可积;极限运算与积分运算只有在很强的条件下(一致收敛)才能交换积分次序;由R可积函数类构成的某些空间不具有完备性

3、.4L积分的产生为克服R积分的缺陷,法国数学家勒贝格1902年建立了一套新的积分理论(L积分理论),对函数限制较少,适用范围更大。L积分与极限交换次序所要求的条件较之R积分要弱得多.,而切使用起来也比较灵活.3.R积分的局限性二、勒贝格积分的概念与性质1.测度有限集上有界函数L积分定义1(L积分)设m(E)<,f(x)是E上的有界可测函数,且

4、yi-1f(x)

5、1Ei1Ei2Ei3Ei4也称f(x)在E上L可积定理1(L积分存在定理)m(E)<,f(x)在E上是有界可测函数f(x)在E上L可积定理2(L积分与R积分的关系)f(x)在E=[a,b]上R可积f(x)在E=[a,b]上L可积，且定理3(L积分基本性质)设m(E)<,f(x)及g(x)都是E上的有界可测函数，与是常数。1)2)线性性质3)零测集上的积分性质4)m(E(fg))=08)有限可加性不等式性质5)6)7)m(E(f

6、,dirichlet函数D(x)=0(a.e.),从而有:2.无界函数及测度无限集上的L积分(1)设m(E)<+,f(x)是E上的非负无界可测函数.作函数{[f(x)]n}是一非负有界可测函数列。n,都存在存在注：当极限值有限时，称f(x)在E上L可积;当极限值无限时，则称f(x)在E上有积分。称[f(x)]n为f(x)的第n截断函数.其中f+(x)0称为f(x)的正部,f-(x)0称为f(x)的负部,注：若上述两个积分都为有限数，则称f(x)在E上L可积;若一个积分有限,另一个积分无限,则称f(x)在E上有积分；若两个积分均无限,则称积分无意义。(2)设m(E)<

7、+,f(x)是E上的一般无界可测函数.则有(3)设E为任意可测集(m(E)可以为+),f(x)是E上的任意可测函数(可以无界).则定义其中E(x)是E的特征函数,并且3.L积分的几个重要性质定理4(绝对可积性)设ER可测，f(x)是E上的可测函数，则f(x)在E上可积

8、f(x)

9、在E上可积，且证:不妨设m(E)<+.“”f(x)在E上可积

10、f(x)

11、在E上可积“”设

12、f(x)

13、在E上可积,0f+(x)

14、f(x)

15、,0f-(x)

16、f(x)

17、[f+(x)]n[

18、f(x)

19、]n,[f-(x)]n[

20、f(x)

21、]n,(n=1,2,…)Ef+(x)

22、dmE

23、f(x)

24、dm<+,Ef-(x)dmE

25、f(x)

26、dm<+Ef(x)dmEf+(x)dm-Ef-(x)dm<+f(x)在E上可积,

27、Ef(x)dm

28、Ef+(x)dm+Ef-(x)dm=E

29、f(x)dm

30、<+定理5(绝对连续性)设ER可测，f(x)是E上的可积函数,则对>0,>0,对E0E,m(E0)<，有证:令g(x)=

31、f(x)

32、f(x)在E上可积

33、f(x)

34、在E上可积g(x)在E上可积对>0,N,使存在取=/