第九节直线与圆锥曲线的位置关系.doc

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1、第九节　直线与圆锥曲线的位置关系【最新考纲】　1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2.理解数形结合的思想．3.了解圆锥曲线的简单应用.1．直线与圆锥曲线的位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近

2、线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝

5、x2－x1

6、＝

7、y2－y1

8、＝.1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打34/34“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(　　)(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(　　)(3)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点．(　　)(4)过抛物线

9、y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．直线y＝k(x－1)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)A．相交　　　B．相切　　　C．相离　　　D．不确定解析：直线y＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A3．(2015·全国Ⅱ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则

10、AB

11、＝(　　)A．3B．6C．9D．12解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，∴椭圆中c＝2，又＝

12、，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，从而椭圆方程为＋＝1.∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，34/34将xA＝－2代入椭圆方程可得

13、yA

14、＝3，由图象可知

15、AB

16、＝2

17、yA

18、＝6.答案：B4．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为________．解析：直线l的方程为y＝x＋1，由得y2－14y＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴

19、AB

20、＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.答案：165．已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，

21、且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝0一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．两种思想直线与圆锥曲线的位置关系，弦长计算，34/34定点、最值问题很好地渗透函数与方程思想和数形结合思想，是考查数学思想方法的热点题型．两种技巧1．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用

22、弦长公式)．2．涉及弦中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．三点注意1．重视圆锥曲线定义、平面几何性质的应用．2．“点差法”具有不等价性，要考虑判别式“Δ”是否为正数．3．涉及定点、定值问题，切忌“特殊代替一般”，盲目简单化．一、选择题1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)A．有且只有一条　　　　　　B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条解析：设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则

23、AB

24、＝

25、AF

26、＋

27、FB

28、＝xA

29、＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．答案：B2．(2015·四川卷)过双曲线x2－34/34＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则

30、AB

31、＝(　　)A.B．2C．6D．4解析：由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，－2)，所以

32、AB

33、＝4.答案：D3．已知直线y＝2(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若·＝0，则m＝(　　)A.B.C.D．0解析：由得A(2，2)，B(，－)，又∵

34、M(－1，m)且·＝0，∴2m2－2m