3-3第三节 晶格振动的量子化和声子.ppt

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1、第三节晶格振动的量子化和声子3.1.1简正坐标3.1.2声子本节主要内容:3.3.1简正坐标一、一维简单格子（N个原子）情形系统的振动动能：系统的振动势能：1.用位置坐标表示晶格振动的能量：因为从数学运算角度上看，由于晶格振动是晶体中诸原子的集体振动，系统的总能量亦即总的哈密顿俩必然包含诸原子的速度和坐标。其中表示位移对时间的一次导数，也就是速度。则系统的总的哈密顿量为：为简单起见，以一维单元原子晶格振动的量子化为例，引入声子的概念，然后将其推广到三维情况。由于势能表达式中包括交叉项，即反映了原子振动的相互耦合。我们试图通过坐标变换

2、来消除交叉项，即将本来存在相互耦合的原子振动转换成在另一表象中相互独立的谐振子。因为运动方程的特解形式如下，式中q=2πs/(Na)，s=-N/2+1，-N/2+2，…，N/2。所以，它的一般解为特解的线性组合：式中的时间因子和振幅都包含在系数中，而且质量因子分离出来。上式实际上是代表在q空间的傅里叶展开。式中，即，或，同样，由于是实数，所以有：中的实际上代表一种独立的振动模式。它满足正交关系：晶体中单电子哈密顿量具有晶格周期性。平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。在直角坐标系中：由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数是的

3、本征函数，那么也一定是算符的本征函数。根据平移特点(3)可得到即由周期性边界条件根据上式可得到同理可得：这样的本征值取下列形式引入矢量式中为晶格三个倒格基矢，由于,---布洛赫定理再证明布洛赫波函数具有如下形式：可以看出平面波能满足上式。因此矢量具有波矢的意义。当波矢增加一个倒格矢，平面波也满足上式。因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加则上式化为即晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述电子在原胞中运动，这取决于原胞中电

4、子的势场。5.1.2的取值和范围由周期性边界条件（其中lj为任意整数)，只能取一些分立的值。可以证明是倒格矢。态和态是同一电子态，而同一电子态对应同一故。个能量，为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征值一一对应起来，必须把波矢的值限制在一个倒格子原胞区间内，通常取：在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波矢点的分布是准连续的。一个波矢对应的体积为：一个波矢代表点对应的体积为：电子的波矢密度为：下面我们证明证明：根据布洛赫定理例1：一维周期场中电子的波函数应当满

5、足布洛赫定理，若晶格常量为a，电子波函数为,f为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢。解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：令m-n=l，据布洛赫定理，即在简约布里渊区中，即1.布里渊区定义在倒格空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒格空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。5.1.3布里渊区第一布里渊区(简约布里渊区)：围绕原点的最小闭合区域；取对于已知的晶体结构，如何画布里渊区呢?第n+1布里渊区：从原点出发经过n个中垂面(或中垂线)才能到

6、达的区域(n为正整数)。2.布里渊区作图法晶体结构布拉维晶格倒格点排列中垂面(中垂线)区分布里渊区倒格基矢正格基矢例2：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第一、第二、第三布里渊区。第一布里渊区第三布里渊区第二布里渊区布里渊区的面积=倒格原胞的面积高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个或几个倒格矢进入简约布里渊区，形成布里渊区的简约区图。第一区第二区第三区布里渊区的简约区图布里渊区的扩展区图第一区第二区第三区第四区第五区第六区第七区第八区第九区第十区二维正方晶格的布里渊区的简约区图倒格仍为矩形。例3：画出下面二维矩形格子的第一和第二布

7、里渊区的扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为。解:第一区第二区例4：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。解：面心立方正格基矢：倒格基矢:面心立方的倒格是边长为4/a体心立方。倒格基矢：已知体心立方正格基矢:XLK例5：画出体心立方第一布里渊区。设体心立方晶格常量为a。解：正格基矢：倒格基矢：体心立方倒格是边长为4/a的面心立方。已知面心立方正格基矢：HPN正方形正格简约布里渊区形状面心立方正方形十四面体(截角八面体)体心立方十二面体简约布里渊区体积(面积)布里渊区的形状由晶体结构的布拉维晶格决定；布里渊区的体积(或

8、面积)等于倒格原胞的体积(或面积)。