3-3 晶格振动量子化与声子

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1、§3.3晶格振动量子化与声子问题的提出：在简谐近似下，晶体中存在3NS个独立的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动状态由这3NS个简谐格波共同决定，那么，晶格振动的系统能量是否可表示成3NS个独立谐振子能量之和？一、晶格振动和谐振子1．系统能量的普遍表示一维单原子链中，平衡时距原点为na的原子，t时刻的绝对位移是q所有可能的N个值的特解的线性叠加：22其中Aq（t）＝Aqe-iωt。按经典力学，系统的总能量为动能和势能之和：该表示式中有（Un+1×Un）的交叉项存在，对建立物理模型和数学处理都带来困

2、难。用坐标变换的方法消去交叉项。2．坐标变换（变量置换）设（3－51）式中Qq(t)称为简正坐标，容易证明：（3－52）证明要点：q=q’时，显然成立；q≠q’时，为对比级数求和，亦可证。 由式（3－51），（3－52）可得（3－51’）（3－53’）3．系统能量的重新表示由式（3－51）～（3－53’）可得系统势能(3-54’)式中ω2q=不含交叉项了。类似地，系统的动能也可写为于是系统总能量可写成不含交叉的标准式：(3-56)复习：经典谐振子能量E＝T＋W＝m+kx2,所以（3－56）式相当

3、于m=1,k=ωq2的以Qq为自变量的谐振子能量。可见由N个原子组成的一维晶体，其晶格振动能量可看成N个谐振子的能量之和。二、能量量子和声子（量子力学修正）把上述经典谐振子的能量用量子力学的结果来表示。量子力学告诉我们，频率为的谐振子，其能量为n=0,1,2……（3－57）这表明谐振子处于不连续的能量状态。当n＝0时，它处于基态，E0＝,称为零点能。相邻状态的能量差为,它是谐振子的能量量子，称它为声子，正如人们把电磁辐射的能量量子称为光子一样。3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应，因此式

4、（3－57）也是一个频率为ω的格波的能量。频率为ωi(q)的格波被激发的程度，用该格波所具有的能量为ωi(q)的声子数n的多少来表征。1.声子是玻色子一个模式可以被多个相同的声子占据，ω和q相同的声子不可区分，自旋为零。满足玻色统计。除碰撞外，不考虑它们之间的相互作用，则可视为近独立子系，则玻色统计与玻尔兹曼统计一致。讨论2.声子是一种准粒子粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用，满足能量守恒。不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的准动量。3.准动量

5、选择定则准动量的确定只能准确到可以附加任何一个倒格矢Ghω(q)=ω(q+Gh)Ex:二声子作用q1＋q2＝q3＋Gh简写成：q1＋q2＝q3＋Gh各个格波可能具有不同的声子数，在一定温度的热平衡态，一个格波的平均声子数有多少呢？由于声子间相互作用很弱，除了碰撞外，可不考虑它们之间的相互作用，故可把声子视为近独立子系，这时玻色－爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的。三.平均声子数在确定的温度T下，频率均为ω的N个格波的平均能量（这里的N并不是晶体的格波总数）其中：N—频率为ω的格波总数

6、Nn—频率为ω，能量为En(即声子数为n)的格波数，的声子在同ω的格波间均可存在，某一ω的格波具有声子数n的状态，满足一定的几率分布。可理解为声子在格波间可跳跃。Nn/N：温度为T、频率为ω、能量为En(即n为某确定值)的格波出现的几率，由玻尔兹曼统计其中：分母为配分函数gn：能量为En的相格数，即能量En的简并度。设：gn＝1因为与上式比较可得利用等比级数求和公式、求导、整理可得＋KBT2（3－58）（3－58‘)其中意义：频率为ω的格波温度为T时的平均声子数。当＝KBT时，≈0.6,定性地讲，

7、此格波已激发，以此为界，温度为T时，只有ω≤KBT的格波才能被激发。（3－59)