晶格振动与热学性能

《晶格振动与热学性能》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五章晶格振动与热学性能晶格振动基础—声子晶体的比热（热容）晶体的热膨胀晶体的热传导晶体中的振动有三种：①晶格振动，即原子在平衡位置附近轻微振动；②扩散，即少数原子离开原来的平衡位置而发生迁移；③熔化，即原子间的联系遭到破坏而使整个晶体瓦解。这里仅讨论第一种情况。晶格振动对晶体的许多性质有影响，例如，固体的比热、热膨胀、热导等直接与晶格的振动有关。另外还有电阻，红外吸收，固态相变等也都是重要内在因素。5.1晶格振动设：原胞中只含有一个原子，整个原子平面作同位相运动。可以产生三种振动波，一个纵向振动波，两个横向振动波.为讨论方便，通常

2、仅考虑以一维纵波情况。5.1.1晶格振动基础n-1nn+1n+2n+3n+4aK或qK或q5.1.2一维单原子链的振动条件：每个原子都具有相同的质量m；晶格常数（平衡时原子间距）为a；热运动使原子离开平衡位置x。n-2n-1nn+1n+2n+3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3设：原子间的作用力是和位移成正比，但方向相反的弹性力；两个最近邻原子间才有作用力------短程弹性力。xn表示第n个原子离开平衡位置的位移，第n个原子相对第n+1个原子间的位移是：a+xn–（xn+1+a）=xn–xn+1同理：第n个原子相对第n-

3、1个原子间的位移是：xn–xn-1设：原子间的作用力是和位移成正比，但方向相反的弹性力；两个最近邻原子间才有作用力------短程弹性力。第n个原子受第n+1个原子的作用力：Fn，n+1=-β(xn-xn+1)第n个原子受第n-1个原子的作用力：Fn，,n-1=-β(xn-xn-1)则第n个原子所受原子的总力为：F=Fn，n+1+Fn，,n-1得：F=β(xn+1+xn-1-2xn)这里：β是恢复力系数，当相对位移很小时，β是常数。1.原子间的作用力服从虎克定律第n个原子运动方程：2.晶格振动方程方程的解是一振幅为A,圆频率为ω的简

4、谐振动式中nak表示第n个原子振动的相位因子，即第n个原子与第0个原子振动的相位差；显然，相邻原子的位向差是ak这里：n=1，2，3，4……N，N是晶体中原子总数，因每个原子都有一个类似的方程，因而方程总数为N个。对比简谐波波动方程：相邻两原子间距为a，因而有：k=2π/λ称为波数，是一矢量。波数在无论在数值和方向上均与晶格倒格矢相同。圆频率与波数的关系为：不同的波数对应着不同的圆频率，因而波的相速度也不同。如果第m个和n第个原子的位相之差为2π的整数倍时，即：ma-na=2πs/k(s为任意整数)：由此可得出如下结论：（1）当两原

5、子(m和n)之间的距离为2π/k的整数倍时，两原子因振动而形成的位相相等。原子在平衡位置附近的振动以前进波的形式在晶格中传播，这种由晶格振动而形成的波叫格波;（2）格波的波长为λ=2π/k；（3）当波数k’与k相差2πs/a时，即k’=k+2πs/a时，因而k’与k的振动状态相同，为使振动状态与k值单值对应，通常把k限制在主值区域（-π/a,π/a）,该区域称为格波的限制条件。而主值区域（-π/a,π/a）正好是第一布里渊区边界。3.色散关系（晶格的振动谱）色散关系：频率(决定颜色)和波矢的关系。主值范围的ω-k图讨论：若，k很小，

6、即为长波时，sin(ak/2)≈ak/2，得：ω=(β/m)1/2ak=ωmaxak/2或υP=a(β/m)1/2波以恒定速度υP沿x方向行进；因而格波近似可看成连续介质中的弹性波。若，k很大(±π/a)，即为短波时，

7、sin(ak/2)

8、=1,圆频率最大：ω=ωmax=2(β/m)1/2,υ<υP，波速随k值变化而变化根据ω—k公式，有：(k)=(k+π/a)说明波矢空间具有平移对称性,其周期为第一布里渊区边长。由布里渊区边界：k=π/a=2π/得：/2=a满足形成驻波的条件k=±π/a正好是布里渊区边界，满足布拉格反射条

9、件，反射波与入射波叠加形成驻波。这是X射线衍射的波动力学基础格波格波：晶格中的所有原子以相同频率振动而形成的波，或某一个原子在平衡位置附近的振动是以波的形式在晶体中传播形成的波。格波的特点：晶格中原子的振动；相邻原子间存在固定的位相。nn+2n-1n+1n-2°°°°°°°°°°°°°°°2π/k=假设一维双原子链晶格原子比为1:1，相邻同种原子间距离为2a（2a是双原子链晶格常数），质量分别为m和M的原子位于图中所示位置。设M>m,原子振动方程分别是：5.1.3、一维双原子链的晶格振动方程的解是以角频率为的简谐振动：结果表

10、明，ω与k之间存在两种不同的色散关系，即对一维简单双原子链格子，可以存在两种独立的格波（与一维简单单原子晶格不同，一维单原子晶格，只能存在一种格波）。两种不同的格波各有自己的色散关系：为保证振动状态与波数的单值对应，限定k值的主值区域